Interpolation lernen: Interpolierende Polynome, Lagrange- und Newton-Interpolation

Question 1

Was ist das primäre Ziel der Interpolation?

Accepted Answer

Eine Funktion durch ein Polynom annähern

Answer

Fehler in Messungen verringern

Answer

Daten extrapolieren

Answer

Differentialgleichungen lösen

Question 2

Was ist das Ziel der Lagrange-Interpolation?

Accepted Answer

Ein Polynom zu finden, das durch eine Reihe von Datenpunkten verläuft

Answer

Die Ableitung eines Polynoms zu berechnen

Answer

Das Integral eines Polynoms zu berechnen

Answer

Die Nullstellen eines Polynoms zu finden

Question 3

Welcher der folgenden Ausdrücke repräsentiert das Lagrange-Basispolynom für den Datenpunkt (x_j, y_j)?

Accepted Answer

L_j(x) = \prod_{i 
eq j}^{n} \frac{x - x_i}{x_j - x_i}

Answer

L_j(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i \prod_{k 
eq i}^{n} \frac{x - x_k}{x_j - x_k}

Answer

L_j(x) = \int_{x_j}^{x} f(t) dt

Answer

L_j(x) = \frac{d}{dx} f(x_j)

Question 4

Welcher der folgenden Ausdrücke repräsentiert das Newton-Dividuendifferenzenpolynom für die Datenpunkte (x_0, y_0), (x_1, y_1), ..., (x_n, y_n)?

Accepted Answer

f[x_0, x_1, ..., x_n] = \frac{f[x_1, x_2, ..., x_n] - f[x_0, x_1, ..., x_{n-1}]}{x_n - x_0}

Answer

f[x_0, x_1, ..., x_n] = \sum_{i=0}^{n} f(x_i) \prod_{j 
eq i}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}

Answer

f[x_0, x_1, ..., x_n] = \int_{x_0}^{x} f(t) dt

Answer

f[x_0, x_1, ..., x_n] = \frac{d}{dx} f(x_0)

Question 5

Welche Formel wird verwendet, um Lagrange-Basispolynome zu berechnen?

Accepted Answer

L_k(x) = ∏_{i=0, i≠k}^{n} (x - x_i) / ∏_{i=0, i≠k}^{n} (x_k - x_i)

Answer

L_k(x) = ∑_{i=0}^{n} f(x_i) L_i(x)

Answer

L_k(x) = f(x_k) ∏_{i=0, i≠k}^{n} (x - x_i)

Answer

L_k(x) = ∫_{x_k}^{x} f(t) dt

Question 6

Wie viele Datenpunkte sind mindestens erforderlich, um ein Polynom zweiten Grades zu interpolieren?

Accepted Answer

3

Answer

2

Answer

4

Answer

5

Question 7

Welche Aussage zur Interpolation ist falsch?

Accepted Answer

Interpolationsmethoden sind immer numerisch stabil.

Answer

Interpolation kann nur für lineare Funktionen verwendet werden.

Answer

Interpolation kann verwendet werden, um fehlende Daten zu schätzen.

Answer

Interpolation kann sowohl für ein- als auch für mehrdimensionale Funktionen verwendet werden.

Question 8

Welche Aussage zur Konvergenz interpolierender Polynome ist korrekt?

Accepted Answer

Interpolierende Polynome konvergieren nur zur interpolierten Funktion, wenn der Abstand zwischen den Knoten gegen null geht

Answer

Interpolierende Polynome konvergieren immer zur interpolierten Funktion

Answer

Interpolierende Polynome konvergieren nur zur interpolierten Funktion, wenn die interpolierte Funktion stetig ist

Answer

Interpolierende Polynome konvergieren niemals zur interpolierten Funktion

Question 9

Welche Technik dient der Reduzierung von Oszillationen in interpolierenden Polynomen?

Accepted Answer

Glättung

Answer

Differentiation

Answer

Integration

Answer

Extrapolation

Question 10

Welche Interpolationsmethode basiert auf einer Matrix?

Accepted Answer

Newton-Interpolation

Answer

Lagrange-Interpolation

Answer

Spline-Interpolation

Answer

Fourier-Interpolation

Question 11

Wie lautet die Formel für das Lagrange-Basispolynom l_i(x)?

Accepted Answer

l_i(x) = (x - x_i) / ((x_i - x_1) * (x_i - x_2))

Answer

l_i(x) = (x - x_1) / (x_i - x_1)

Answer

l_i(x) = 1 / (x_i - x_1)

Answer

l_i(x) = (x_i^2 - x^2) / (x_i - x)

Question 12

Welche Aussage über den Restterm der Lagrange-Interpolation trifft zu?

Accepted Answer

Er ist vom Grad n+1.

Answer

Er ist stets null.

Answer

Er beinhaltet alle Datenpunkte.

Answer

Er ist immer kleiner als der Abstand zwischen benachbarten Stützstellen.

Question 13

Welche Funktion lässt sich nicht mittels Interpolation annähern?

Accepted Answer

1/x

Answer

e hoch x

Answer

sin(x)

Answer

x^2

Question 14

Welche Interpolationsmethode eignet sich am besten für Datenpunkte mit ungleichmäßigen Abständen?

Accepted Answer

Spline-Interpolation

Answer

Lagrange-Interpolation

Answer

Newton-Interpolation

Answer

Hermite-Interpolation

Question 15

Wie lässt sich die Beziehung zwischen Interpolation und Approximation am besten beschreiben?

Accepted Answer

Interpolation kann als Spezialfall der Approximation angesehen werden.

Answer

Interpolation liefert immer eine exakte Übereinstimmung mit den Datenpunkten.

Answer

Approximation liefert immer eine bessere Übereinstimmung mit den Datenpunkten als Interpolation.

Answer

Interpolation und Approximation sind synonym.

Question 16

Welches der folgenden Polynome ist das Lagrange-Interpolationspolynom für die Punkte (x₁, y₁) und (x₂, y₂)?

Accepted Answer

p(x) = y₁(x - x₂) / (x₁ - x₂) + y₂(x - x₁) / (x₂ - x₁)

Answer

p(x) = y₁(x - x₂) / (x₂ - x₁) + y₂(x - x₁) / (x₁ - x₂)

Answer

p(x) = y₁x + y₂ / x

Answer

p(x) = y₁ / x + y₂x

Question 17

Gegeben sind die Punkte (0, 1), (1, 2), (2, 5). Welches ist das lineare Interpolationspolynom?

Accepted Answer

p(x) = 2x + 1

Answer

p(x) = x + 1

Answer

p(x) = 3x + 1

Answer

p(x) = 4x + 1

Question 18

Welche der folgenden Funktionen kann nicht durch Interpolation approximiert werden?

Accepted Answer

Zufallsfunktionen

Answer

Polynome

Answer

Sinusfunktionen

Answer

Exponentialfunktionen

Question 19

Welcher der folgenden Fehler ist bei der Interpolation von Interesse?

Accepted Answer

Approximationsfehler

Answer

Rundungsfehler

Answer

Übertragungsfehler

Answer

Syntaxfehler

Question 20

Welches Kriterium muss für die Punkte (x₁, y₁) und (x₂, y₂) erfüllt sein, damit das Lagrange-Interpolationspolynom existiert und eindeutig ist?

Accepted Answer

x₁ ≠ x₂

Answer

y₁ ≠ y₂

Answer

x₁ = x₂

Answer

y₁ = y₂

Question 21

Was ist das Hauptziel der Interpolation?

Accepted Answer

Schätzung eines Funktionswerts an einem beliebigen Punkt basierend auf gegebenen Werten

Answer

Annäherung einer Funktion durch eine Reihe von Polynomen

Answer

Lösung von Differentialgleichungen

Answer

Berechnung der Steigung einer Funktion

Question 22

Formulieren Sie die Newton-Form des Interpolationspolynoms f(x) für die Datenpunkte (x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn).

Accepted Answer

f(x) = f[x0] + f[x0, x1] * (x - x0) + f[x0, x1, x2] * (x - x0) * (x - x1) + ... + f[x0, x1, ..., xn] * (x - x0) * (x - x1) * ... * (x - xn)

Answer

f(x) = y0 * (x - x1) * (x - x2) + y1 * (x - x0) * (x - x2) + ... + yn * (x - x0) * (x - x1)

Question 23

Welches Kriterium dient zur Bewertung der Güte eines Interpolationspolynoms?

Accepted Answer

Approximationsfehler

Answer

Berechnungsaufwand

Answer

Grad des Polynoms

Answer

Anzahl der Datenpunkte

Question 24

Welche Aussage über die Lagrange-Interpolation ist falsch?

Accepted Answer

Das Lagrange-Interpolationspolynom ist stets positiv.

Answer

Das Lagrange-Interpolationspolynom hat genau eine Nullstelle an jedem Datenpunkt.

Answer

Das Lagrange-Interpolationspolynom ist ein Polynom vom Grad n - 1, wobei n die Anzahl der Datenpunkte angibt.

Question 25

Welches Interpolationsverfahren verwendet Lagrange-Basispolynome?

Accepted Answer

Lagrange-Interpolation

Answer

Newton-Interpolation

Answer

Hermite-Interpolation

Answer

Spline-Interpolation

Question 26

Welche Kriterien sind entscheidend für die Wahl des Interpolationsverfahrens?

Accepted Answer

Genauigkeit, Stabilität, Effizienz

Answer

Grad des Interpolationspolynoms

Answer

Verteilung der Stützstellen

Answer

Anzahl der Stützstellen

Question 27

Was unterscheidet Interpolation von Extrapolation?

Accepted Answer

Interpolation schätzt Werte innerhalb des Stützstellenbereichs, während Extrapolation außerhalb schätzt.

Answer

Interpolation verwendet Polynome, Extrapolation rationale Funktionen.

Question 28

Welche Aussage über Spline-Interpolation ist korrekt?

Accepted Answer

Splines sind stückweise Polynome, stetig an Knoten und erfüllen Glättebedingungen.

Answer

Splines sind immer Polynome dritten Grades.

Question 29

Welche Aussage zur Ordnung des Polynoms der Newton-Interpolation bei **n** Datenpunkten ist korrekt?

Accepted Answer

Das Newton-Interpolationspolynom hat Ordnung **n-1**.

Answer

Das Newton-Interpolationspolynom hat immer Ordnung **3**.

Answer

Das Newton-Interpolationspolynom hat einen positiven Leitkoeffizienten.

Question 30

Welche Aussage zur Interpolation äquidistanter Datenpunkte ist korrekt?

Accepted Answer

Die Interpolationsfehler sind an allen Punkten gleich groß.

Answer

Die Interpolationsfehler sind immer positiv.

Answer

Die Interpolationsfehler nehmen mit zunehmendem Abstand zwischen den Punkten ab.

Question 31

Welcher Algorithmus dient zur effizienten Berechnung von Lagrange-Interpolationspolynomen?

Accepted Answer

Horner-Schema

Answer

Binary-Search-Algorithmus

Answer

Quicksort-Algorithmus

Answer

Gauß-Algorithmus

Question 32

Welche Methode dient zur Abschätzung des Interpolationsfehlers?

Accepted Answer

Restgliedformel

Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Simpsonregel

Answer

Trapezregel

Question 33

Welche Bedingung muss für die eindeutige Lösung eines Interpolationsproblems erfüllt sein?

Accepted Answer

Die Interpolationsbedingungen sind linear unabhängig.

Answer

Die Anzahl der Datenpunkte ist gleich dem Grad des Interpolationspolynoms.

Answer

Die Datenpunkte sind gleichmäßig verteilt.

Question 34

Welche der folgenden Aussagen zur Lagrange-Interpolation beschreibt ein eindeutiges Charakteristikum?

Accepted Answer

Für gegebene Datenpunkte existiert ein eindeutig bestimmtes Polynom, das durch diese Punkte verläuft.

Answer

Die Lagrange-Interpolation verwendet eine Teilmenge der gegebenen Datenpunkte.

Answer

Das Lagrange-Polynom ist immer ein Polynom vom Grad n, wobei n die Anzahl der Datenpunkte ist.

Question 35

Nenne den Hauptunterschied zwischen Lagrange-Interpolation und Newton-Interpolation.

Accepted Answer

Lagrange-Interpolation verwendet ein eindeutiges Polynom, während Newton-Interpolation eine Folge von Polynomen mit unterschiedlichen Ableitungswerten an den Datenpunkten verwendet.

Answer

Lagrange-Interpolation ist immer eine lineare Funktion, während Newton-Interpolation nichtlineare Funktionen erzeugen kann.

Answer

Newton-Interpolation ist genauer als Lagrange-Interpolation.

Answer

Lagrange-Interpolation kann stetige Funktionen interpolieren, während Newton-Interpolation nur Polynomfunktionen interpolieren kann.

Question 36

Wie wird der maximale Fehler bei der Newton-Interpolation abgeschätzt?

Accepted Answer

|R(x)| ≤ M/(n+1)! |x-x0||x-x1|...|x-xn|, wobei M eine Schranke für den (n+1)-ten Ableitung der interpolierten Funktion ist.

Answer

|R(x)| ≤ M/(n+2)! |x-x0||x-x1|...|x-xn|, wobei M eine Schranke für den (n+2)-ten Ableitung der interpolierten Funktion ist.

Answer

|R(x)| ≤ M/n! |x-x0||x-x1|...|x-xn|, wobei M eine Schranke für den n-ten Ableitung der interpolierten Funktion ist.

Question 37

Welches der folgenden Polynome ist das Lagrange-Interpolationspolynom für die Datenpunkte (x₁, y₁) = (-1, 2), (1, 6)?

Accepted Answer

y = 4x + 2

Answer

y = 2x + 2

Answer

y = 6x

Answer

y = 4x

Question 38

Welcher der folgenden Begriffe beschreibt die Anzahl der Teilintervalle, die bei der Interpolation verwendet werden?

Accepted Answer

Anzahl der Intervalle

Answer

Fehlergrenze

Answer

Grad des Polynoms

Answer

Ordnung des Polynoms

Question 39

Was ist das Ziel der Interpolation?

Accepted Answer

Eine Funktion durch Datenpunkte anzunähern

Answer

Die Ableitung einer Funktion zu finden

Answer

Das Integral einer Funktion zu finden

Answer

Die Nullstellen einer Funktion zu finden

Question 40

Welche der folgenden Aussagen über Lagrange-Interpolation ist korrekt?

Accepted Answer

Die Lagrange-Basispolynome sind für jeden Datenpunkt eindeutig.

Answer

Die Lagrange-Interpolation führt immer zu einem Polynom vom höchsten Grad.

Answer

Die Lagrange-Interpolation ist immer genauer als die Newton-Interpolation.

Answer

Die Lagrange-Interpolation kann nur für äquidistante Datenpunkte verwendet werden.

Question 41

Was ist der Unterschied zwischen linearer und quadratischer Interpolation?

Accepted Answer

Die quadratische Interpolation verwendet ein Polynom zweiten Grades, während die lineare Interpolation ein Polynom ersten Grades verwendet.

Answer

Die lineare Interpolation ist genauer als die quadratische Interpolation.

Answer

Die quadratische Interpolation ist immer anwendbar, während die lineare Interpolation nicht immer anwendbar ist.

Question 42

Was ist eine Fehlergrenze bei der Interpolation?

Accepted Answer

Eine Schranke für den absoluten Fehler zwischen der interpolierten Funktion und der wahren Funktion

Answer

Die Qualität der Datenpunkte, die für die Interpolation verwendet werden

Answer

Die Anzahl der Datenpunkte, die für die Interpolation verwendet werden

Answer

Der Grad des Interpolationspolynoms

Question 43

Welcher der folgenden Begriffe beschreibt die Tendenz eines Interpolationspolynoms, Werte außerhalb des Interpolationsintervalls zu überschätzen?

Accepted Answer

Runge-Phänomen

Answer

Numerische Instabilität

Answer

Gibbs-Phänomen

Answer

Aliasing

Question 44

Welches Interpolationsverfahren ist effizienter bei einer großen Anzahl von Interpolationspunkten?

Accepted Answer

Newton-Interpolation

Answer

Keines der Verfahren ist effizient

Answer

Beide Verfahren sind gleich effizient

Answer

Lagrange-Interpolation

Question 45

Welche Kriterien sind bei der Wahl eines Interpolationsverfahrens zu berücksichtigen?

Accepted Answer

Genauigkeit, Stabilität und Effizienz

Answer

Nur Genauigkeit

Answer

Nur Stabilität

Question 46

In welchen Bereichen findet Interpolation Anwendung?

Accepted Answer

Computergrafik, Signalverarbeitung und Finite-Elemente-Methoden

Answer

Nur Computergrafik

Answer

Nur Signalverarbeitung

Question 47

Welche Aussage zum Fehler bei der Interpolation ist FALSCH?

Accepted Answer

Der Fehler ist immer gleichmäßig über das Interpolationsintervall verteilt

Answer

Der Fehler kann an den Interpolationspunkten Null sein

Answer

Der Fehler kann an Punkten zwischen den Interpolationspunkten groß sein

Question 48

Welches der folgenden Polynome ist ein Lagrange-Interpolationspolynom vom Grad n für die Datenpunkte (x_i, f(x_i)) mit i = 0, 1, ..., n?

Accepted Answer

L(x) = ∑_{i=0}^n f(x_i) * ∏_{j=0,j≠i}^n (x - x_j)/(x_i - x_j)

Answer

L(x) = f(x_0) + f'(x_0) * (x - x_0)

Answer

L(x) = ∑_{i=0}^n a_i * x^i

Question 49

Welcher der folgenden Punkte darf NICHT verwendet werden, um ein eindeutiges Lagrange-Interpolationspolynom vom Grad n zu bestimmen?

Accepted Answer

Ein beliebiger Punkt (x, y)

Answer

Die Punkte müssen paarweise verschieden sein

Answer

n+1 Punkte (x_i, f(x_i)), wobei n der Grad des Polynoms ist

Answer

n Punkte (x_i, f(x_i)), wobei n der Grad des Polynoms ist

Question 50

Wie viele Koeffizienten hat das Newton-Interpolationspolynom vom Grad n?

Accepted Answer

n + 1

Answer

n

Answer

2n

Answer

n - 1

Question 51

Welches der folgenden Schemata wird zur Berechnung der geteilten Differenzen verwendet, die zur Erstellung des Newton-Interpolationspolynoms benötigt werden?

Accepted Answer

Vorwärtsdifferenzschema

Answer

Zentrales Differenzschema

Answer

Rückwärtsdifferenzschema

Answer

Geteiltes Differenzschema

Question 52

Welches der folgenden Verfahren kann verwendet werden, um die Interpolationspunkte für einen gegebenen Datensatz auszuwählen?

Accepted Answer

Äquidistante Verteilung

Answer

Chebyshev-Punkte

Answer

Gauss-Punkte

Answer

Zufällige Auswahl

Question 53

Welches der folgenden Kriterien kann verwendet werden, um die Güte eines Interpolationspolynoms zu bewerten?

Accepted Answer

Mittlerer quadratischer Fehler

Answer

Maximale Abweichung

Answer

Anzahl der Nullstellen

Answer

Stetigkeit an den Interpolationspunkten

Question 54

Welches der folgenden Polynome ist ein lineares Interpolationspolynom?

Accepted Answer

L(x) = f(x_0) + f'(x_0) * (x - x_0)

Answer

L(x) = (f(x_n) - f(x_0))/(x_n - x_0) * (x - x_0) + f(x_0)

Answer

L(x) = a_0 + a_1 * x + a_2 * x^2

Answer

L(x) = ∑_{i=0}^n f(x_i) * ∏_{j=0,j≠i}^n (x - x_j)/(x_i - x_j)

Question 55

Welche der folgenden Aussagen zur Interpolation ist richtig?

Accepted Answer

Die Interpolation kann verwendet werden, um Werte an Punkten zu schätzen, die nicht im ursprünglichen Datensatz enthalten sind.

Answer

Die Interpolation garantiert immer eine exakte Annäherung der Funktion.

Question 56

Welches der folgenden Verfahren kann verwendet werden, um die Ableitung einer interpolierten Funktion zu berechnen?

Accepted Answer

Numerische Differenzierung

Answer

Analytische Differenzierung

Answer

Symbolische Differenzierung

Question 57

Welche der folgenden Anwendungen der Interpolation ist in der Praxis von Bedeutung?

Accepted Answer

Vorhersage von Zeitreihen

Answer

Bildverarbeitung

Answer

Komprimierung von Daten

Answer

Lösung von Differentialgleichungen

Question 58

Welche Aussage zur Lagrange-Interpolation beschreibt deren wesentliche Eigenschaft treffend?

Accepted Answer

Sie liefert das eindeutig bestimmte Polynom minimalen Grades, welches die gegebenen Daten interpoliert.

Answer

Sie erzeugt ausschließlich Polynome ungeraden Grades.

Answer

Sie ist ausschließlich für äquidistante Datenpunkte geeignet.

Question 59

Welches der aufgeführten Polynome stellt ein interpolierendes Polynom für die Datenpunkte (1, 2), (2, 4) und (3, 6) dar?

Accepted Answer

f(x) = 2x² - 2x + 2

Answer

f(x) = x² - 2x + 4

Answer

f(x) = x³ - 3x² + 2x

Answer

f(x) = x³ - 2x² + 3x - 2

Question 60

Welche Formel beschreibt die Newton-Formel zur Berechnung des geteilten Differenzquotienten?

Accepted Answer

f[x_i, ..., x_k] = (f[x_i, ..., x_{k-1}] - f[x_{i+1}, ..., x_k]) / (x_i - x_k)

Answer

f[x_i, ..., x_k] = (f[x_i] - f[x_{i+1}]) / (x_i - x_{i+1})

Answer

f[x_i, ..., x_k] = (f[x_i, ..., x_{k-1}] + f[x_{i+1}, ..., x_k]) / (x_i - x_k)

Question 61

Welcher Vorteil der Newton-Interpolation gegenüber der Lagrange-Interpolation besteht darin?

Accepted Answer

Sie ermöglicht die effiziente Berechnung neuer Funktionswerte durch Einbeziehung zusätzlicher Datenpunkte.

Answer

Sie liefert immer Polynome mit dem minimal möglichen Grad.

Answer

Sie ist einfacher zu implementieren.

Question 62

Welche der folgenden Aussagen zur numerischen Stabilität der Interpolation ist korrekt?

Accepted Answer

Die Lagrange-Interpolation kann bei äquidistanten Datenpunkten numerisch instabil werden.

Answer

Die Interpolation ist stets numerisch stabil, wenn die Datenpunkte gleichmäßig verteilt sind.

Answer

Die Newton-Interpolation ist durchgängig numerisch stabil.

Question 63

Welche Anwendung der Interpolation findet in der Praxis breite Anwendung?

Accepted Answer

Approximation von Funktionen

Answer

Berechnung von Differentialgleichungen

Answer

Optimierung nichtlinearer Funktionen

Answer

Lösen linearer Gleichungssysteme

Question 64

Welche Aussage zur Interpolation auf ungleichmäßigen Gitterpunkten ist korrekt?

Accepted Answer

Sie erfordert spezielle Interpolationsmethoden wie Radial Basis Functions.

Answer

Sie kann immer mittels Lagrange-Interpolation durchgeführt werden.

Answer

Sie ist numerisch stabiler als die Interpolation auf gleichmäßigen Gitterpunkten.