Lineare Gleichungssysteme: Online-Quizze für Mechatronik-Studierende

Question 1

Welche Methode wird verwendet, um ein lineares Gleichungssystem mit drei Variablen zu lösen?

Accepted Answer

Gauß-Jordan-Elimination

Answer

Cramer-Regel

Answer

Jacobi-Iteration

Answer

Seidel-Iteration

Question 2

Was versteht man unter dem Rang einer Matrix?

Accepted Answer

Die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen- oder Spaltenvektoren.

Answer

Die Anzahl der Nullzeilen oder -spalten.

Answer

Die Anzahl der invertierbaren Elemente auf der Hauptdiagonale.

Answer

Die Anzahl der Zeilen oder Spalten minus die Anzahl der Nullzeilen oder -spalten.

Question 3

Welche Aussage über die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems ist richtig?

Accepted Answer

Sie ist ein-, mehrdimensional oder leer.

Answer

Sie ist immer leer oder eindimensional.

Answer

Sie ist immer ein- oder mehrdimensional.

Answer

Sie ist leer, ein- oder mehrdimensional.

Question 4

Welche Aussage über lineare Gleichungssysteme mit Parametern ist korrekt?

Accepted Answer

Ihre Lösungsmenge ist leer, ein- oder mehrdimensional, abhängig von den Parameterwerten.

Answer

Ihre Lösungsmenge ist stets leer oder eindimensional.

Answer

Ihre Lösungsmenge ist stets ein- oder mehrdimensional.

Answer

Ihre Lösungsmenge ist ein-, mehrdimensional oder leer.

Question 5

Was beschreibt den Rang einer Matrix und wie beeinflusst er die Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Der Rang einer Matrix entspricht der Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten.

Answer

Der Rang einer Matrix ergibt sich aus der Summe der Zeilen- und Spaltenanzahl.

Answer

Der Rang einer Matrix ist stets identisch mit ihrer Determinante.

Answer

Der Rang einer Matrix hat keinen Einfluss auf die Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme.

Question 6

Welche der folgenden Matrizen ist die Einheitsmatrix?

Accepted Answer

[1 0; 0 1]

Answer

[0 1; 1 0]

Answer

[1 2; 3 4]

Answer

[0 0; 0 0]

Question 7

Welche der folgenden Methoden wird verwendet, um ein lineares Gleichungssystem mit n Gleichungen und n Unbekannten zu lösen?

Accepted Answer

Gauß-Jordan-Elimination

Answer

Cramersche Regel

Answer

Iterationsverfahren

Answer

Quadratische Ergänzung

Question 8

Was ist das Ergebnis der Gauß-Jordan-Elimination für die Matrix [1 2; 3 6]?

Accepted Answer

[1 0; 0 1]

Answer

[0 1; 0 0]

Answer

[0 0; 1 0]

Answer

[0 0; 0 0]

Question 9

Welches der folgenden Gleichungssysteme ist homogen?

Accepted Answer

x + 2y = 0

Answer

x + y = 2

Answer

2x + y = 1

Answer

3x - y = 5

Question 10

Welche der folgenden Aussagen ist korrekt?

Accepted Answer

Ein homogenes lineares Gleichungssystem hat immer eine triviale Lösung.

Answer

Ein homogenes lineares Gleichungssystem hat immer eine eindeutige Lösung.

Answer

Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem hat immer eine eindeutige Lösung.

Answer

Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem hat immer eine triviale Lösung.

Question 11

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Gauß-Jordan-Elimination korrekt?

Accepted Answer

Eine Methode zur Umwandlung eines linearen Gleichungssystems in eine Dreiecksmatrix.

Answer

Eine Methode zur Berechnung der Determinante eines linearen Gleichungssystems.

Answer

Eine Methode zur Lösung linearer Ungleichungssysteme.

Answer

Eine Methode zur Bestimmung des Ranges einer Matrix.

Question 12

Welcher der folgenden Schritte ist NICHT Teil der Gauß-Jordan-Elimination?

Accepted Answer

Division einer Gleichung durch die Variable.

Answer

Multiplikation einer Gleichung mit einer Konstanten.

Answer

Addition einer Gleichung zu einer anderen Gleichung.

Answer

Vertauschung von zwei Gleichungen.

Question 13

Was ist die Determinante einer quadratischen Matrix?

Accepted Answer

Eine Zahl, die die Größe und Orientierung der Matrix beschreibt.

Answer

Eine Matrix, die durch die Kofaktoren der ursprünglichen Matrix gebildet wird.

Answer

Eine Gleichung, die das lineare Gleichungssystem darstellt.

Answer

Ein Vektor, der die Lösungen des linearen Gleichungssystems darstellt.

Question 14

Wann ist ein lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar?

Accepted Answer

Wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich Null ist.

Answer

Wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix Null ist.

Answer

Wenn das Gleichungssystem mehr Gleichungen als Unbekannte hat.

Answer

Wenn das Gleichungssystem mehr Unbekannte als Gleichungen hat.

Question 15

Wann ist ein lineares Gleichungssystem überbestimmt?

Accepted Answer

Wenn es mehr Gleichungen als Unbekannte hat.

Answer

Wenn es mehr Unbekannte als Gleichungen hat.

Answer

Wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix Null ist.

Answer

Wenn das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat.

Question 16

Welche Methode eignet sich am besten zur Lösung kleiner linearer Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Gauß-Jordan-Elimination

Answer

Cramersche Regel

Answer

LU-Zerlegung

Answer

QR-Zerlegung

Question 17

Wie viele Lösungen hat ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten, wobei m > n ist?

Accepted Answer

Unendlich viele Lösungen

Answer

Keine Lösungen

Answer

Eine eindeutige Lösung

Answer

Genau n Lösungen

Question 18

Welches der folgenden Gleichungssysteme hat unendlich viele Lösungen?

Accepted Answer

x + y = 0
x - y = 0

Answer

x + y = 2
x + y = 3

Answer

2x + 3y = 7
y = 1

Answer

x - 2y = 4
2x - 4y = 8

Question 19

Welche der folgenden Methoden ist eine gültige Technik zur Lösung linearer Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Gauß-Jordan-Elimination

Answer

Mittelwertbildung

Answer

Intervallschätzung

Answer

Regressionsanalyse

Question 20

Welche der folgenden Aussagen über lineare Gleichungssysteme ist falsch?

Accepted Answer

Jedes lineare Gleichungssystem hat mindestens eine Lösung.

Answer

Ein inkonsistentes Gleichungssystem hat keine Lösung.

Answer

Ein homogenes Gleichungssystem hat immer die triviale Lösung (x=0, y=0, ...).

Answer

Ein Gleichungssystem mit unendlich vielen Lösungen ist konsistent.

Question 21

Welche der folgenden Aussagen über lineare Gleichungssysteme ist nicht korrekt?

Accepted Answer

Lineare Gleichungssysteme können immer durch die Cramersche Regel gelöst werden.

Answer

Lineare Gleichungssysteme können entweder eindeutig lösbar, überbestimmt oder unterbestimmt sein.

Answer

Die Gauß-Jordan-Elimination kann zur Lösung linearer Gleichungssysteme mit beliebig vielen Variablen verwendet werden.

Question 22

Welches der folgenden Systeme linearer Gleichungen ist überbestimmt?

Accepted Answer

2x + y = 3, x - 2y = 1, 3x + 4y = 5

Answer

x + y = 2, 2x - y = 1

Answer

x + 2y = 5, 3x + 6y = 10

Question 23

Welche der folgenden Matrizen ist die erweiterte Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems 3x - y = 2, x + 2y = 7?

Accepted Answer

$egin{bmatrix}3 & -1 & 2 \ 1 & 2 & 7end{bmatrix}$

Answer

$egin{bmatrix}3 & -1 \ 1 & 2end{bmatrix}$

Answer

$egin{bmatrix}3 & -1 & 7 \ 1 & 2 & 2end{bmatrix}$

Answer

$egin{bmatrix}2 & -1 & 7 \ 1 & 3 & xend{bmatrix}$

Question 24

Welche der folgenden Aussagen über homogene lineare Gleichungssysteme ist korrekt?

Accepted Answer

Homogene lineare Gleichungssysteme haben immer die triviale Lösung (x1 = 0, x2 = 0, ..., xn = 0).

Answer

Homogene lineare Gleichungssysteme können überbestimmt sein.

Answer

Homogene lineare Gleichungssysteme haben immer eine eindeutige nicht-triviale Lösung.

Question 25

Welche Aussage über den Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems trifft zu?

Accepted Answer

Der Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems kann leer, eindimensional oder mehrdimensional sein.

Answer

Der Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems ist immer eindimensional.

Question 26

Unter welcher Bedingung besitzt ein lineares Gleichungssystem genau eine Lösung?

Accepted Answer

Der Rang der Koeffizientenmatrix ist gleich der Anzahl der Variablen.

Answer

Alle Diagonalelemente der Koeffizientenmatrix sind ungleich Null.

Answer

Die Koeffizientenmatrix ist symmetrisch.

Question 27

Welchen geometrischen Zusammenhang gibt es zwischen dem Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems und den Zeilenvektoren der Koeffizientenmatrix?

Accepted Answer

Der Lösungsraum ist ein affiner Unterraum des Vektorraums, der von den Zeilenvektoren aufgespannt wird.

Answer

Der Lösungsraum ist der Durchschnitt der Hyperebenen, die durch die Zeilenvektoren definiert werden.

Question 28

Mit welcher Methode kann die Anzahl linear unabhängiger Lösungen eines homogenen linearen Gleichungssystems bestimmt werden?

Accepted Answer

Rang der Koeffizientenmatrix

Answer

Spur der Koeffizientenmatrix

Answer

Eigenwerte der Koeffizientenmatrix

Answer

Determinante der Koeffizientenmatrix

Question 29

Welches der folgenden Gleichungssysteme ist ein lineares Gleichungssystem?

Accepted Answer

2x + 3y = 7
4x - y = 1

Answer

x² + y = 5
2x - y = 1

Answer

√x + 2y = 3
3x - y = 2

Question 30

Welche Methode zur Lösung eines linearen Gleichungssystems verwendet die Umformung der Koeffizientenmatrix in die Zeilenstufenform?

Accepted Answer

Gauß-Jordan-Elimination

Answer

Substitution

Answer

Einsetzungsverfahren

Answer

Cramersche Regel

Question 31

Welches der folgenden Gleichungssysteme hat unendlich viele Lösungen?

Accepted Answer

x + 2y = 4
2x + 4y = 8

Answer

x + 2y = 4
2x + 3y = 8

Answer

x + 2y = 4
3x + 4y = 10

Answer

x + 2y = 4
2x - 4y = 8

Question 32

Bestimmen Sie die Determinante der folgenden Matrix:
[2 1]
[3 4]

Accepted Answer

5

Answer

-5

Answer

11

Answer

-11

Question 33

Welche der folgenden Aussagen ist NICHT korrekt im Zusammenhang mit der Cramerschen Regel?

Accepted Answer

Die Cramersche Regel funktioniert nur für Gleichungssysteme mit mehr Gleichungen als Variablen.

Answer

Die Cramersche Regel erfordert die Berechnung der Determinante der Koeffizientenmatrix.

Answer

Die Cramersche Regel kann verwendet werden, um Lösungen für lineare Gleichungssysteme zu finden.

Question 34

Ein lineares Gleichungssystem mit 3 Variablen und 2 Gleichungen hat ...

Accepted Answer

unendlich viele Lösungen

Answer

keine Lösung

Answer

genau eine Lösung

Answer

maximal 3 Lösungen

Question 35

Die Gauß-Jordan-Elimination wird verwendet, um eine Matrix in die ...

Accepted Answer

Zeilenstufenform

Answer

Diagonalform

Answer

Identitätsmatrix

Answer

Spaltenstufenform

Question 36

Welches Gleichungssystem wird durch die folgende erweiterte Koeffizientenmatrix dargestellt? 
[1 2 | 5]
[3 1 | 7]

Accepted Answer

x + 2y = 5
3x + y = 7

Answer

x + 2y = 7
3x + y = 5

Answer

2x + y = 5
3x + 1y = 7

Answer

x + 3y = 5
2x + y = 7

Question 37

Ein lineares Gleichungssystem hat keine Lösung, wenn ...

Accepted Answer

die Determinante der Koeffizientenmatrix gleich 0 ist und die erweiterte Matrix eine nicht-triviale Nullzeile besitzt.

Answer

die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich 0 ist.

Question 38

Welche der folgenden Aussagen ist KORREKT in Bezug auf die Verwendung der Cramerschen Regel?

Accepted Answer

Die Cramersche Regel ist effizient für die Lösung von Gleichungssystemen mit einer kleinen Anzahl von Variablen.

Answer

Die Cramersche Regel ist die effizienteste Methode für die Lösung von Gleichungssystemen mit einer großen Anzahl von Variablen.