Grenzwerte und Stetigkeit: Online-Quiz für Mathematik-Studierende

Question 1

Berechnen Sie den Grenzwert von e^(2x) für x gegen unendlich.

Accepted Answer

unendlich

Answer

0

Answer

1

Answer

undefiniert

Question 2

Welche der folgenden Aussagen ist äquivalent zur Aussage "Die Funktion f(x) ist an der Stelle a ableitbar"?

Accepted Answer

Alle oben genannten Aussagen sind äquivalent.

Answer

Die Grenzwerte von f'(x) für x gegen a von rechts und links existieren und sind gleich.

Answer

Die Funktion f(x) ist an der Stelle a stetig und ihre Ableitung existiert.

Answer

Die Funktion f(x) ist an der Stelle a stetig und ihre Steigung ist an der Stelle a definiert.

Question 3

Welche Aussage beschreibt die korrekte Definition des Grenzwerts einer Funktion f(x) an der Stelle x = a?

Accepted Answer

Der Wert, dem sich f(x) nähert, wenn x gegen a strebt, unabhängig von der Annäherungsrichtung.

Answer

Der Wert, den f(x) annimmt, wenn x = a.

Answer

Der Wert, dem sich f(x) nähert, wenn x von links gegen a strebt.

Answer

Der Wert, dem sich f(x) nähert, wenn x von rechts gegen a strebt.

Question 4

Welche der folgenden Aussagen ist eine notwendige Bedingung dafür, dass eine Funktion an einer Stelle differenzierbar ist?

Accepted Answer

Die Funktion muss an dieser Stelle stetig sein.

Answer

Die Funktion muss an dieser Stelle eine horizontale Tangente haben.

Answer

Die Funktion muss an dieser Stelle eine vertikale Tangente haben.

Answer

Die Funktion muss an dieser Stelle einen Wendepunkt haben.

Question 5

Welche der folgenden Eigenschaften gilt für eine stetige Funktion f(x)?

Accepted Answer

Der Graph von f(x) ist eine zusammenhängende Kurve.

Answer

Die Ableitung von f(x) existiert an allen Stellen.

Answer

Die zweite Ableitung von f(x) ist überall positiv.

Answer

Die Funktion nimmt an keiner Stelle den Wert 0 an.

Question 6

Welche Aussage beschreibt am besten den Zusammenhang zwischen Differenzierbarkeit und Stetigkeit?

Accepted Answer

Jede differenzierbare Funktion ist auch stetig.

Answer

Jede stetige Funktion ist auch differenzierbar.

Answer

Nur Funktionen, die an allen Stellen differenzierbar sind, sind auch stetig.

Answer

Nur Funktionen, die an allen Stellen stetig sind, sind auch differenzierbar.

Question 7

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 1 nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = |x - 1|

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 8

Welche der folgenden Aussagen beschreibt den Grenzwert einer Funktion f(x) für x gegen a?

Accepted Answer

Der Wert, dem sich f(x) annähert, wenn sich x der Stelle a beliebig annähert, ohne a zu erreichen

Answer

Der Wert, den f(x) an der Stelle a annimmt

Answer

Der Wert, den f(x) für alle x in der Nähe von a annimmt

Answer

Der Wert, an dem f(x) eine Polstelle hat

Question 9

Eine Funktion f(x) ist an der Stelle x₀ stetig, wenn:

Accepted Answer

Der Grenzwert von f(x) für x gegen x₀ existiert und gleich f(x₀) ist

Answer

Der Grenzwert von f(x) für x gegen x₀ existiert

Answer

f(x) an der Stelle x₀ differenzierbar ist

Answer

f(x) an der Stelle x₀ integrierbar ist

Question 10

Welche der folgenden Funktionen ist an allen Stellen stetig?

Accepted Answer

f(x) = x³ - 2x² + 1

Answer

f(x) = |x - 1|

Answer

f(x) = 1 / (x - 2)

Answer

f(x) = √x

Question 11

Berechnen Sie den Grenzwert des Ausdrucks sin(x) / x für x gegen 0:

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

unendlich

Answer

existiert nicht

Question 12

Eine Funktion f(x) hat an der Stelle x = a eine Polstelle, wenn:

Accepted Answer

Der Grenzwert von f(x) für x gegen a gleich unendlich ist

Answer

Der Grenzwert von f(x) für x gegen a gleich null ist

Answer

f(a) gleich null ist

Answer

f(a) nicht definiert ist

Question 13

Welche der folgenden Funktionen hat eine Sprungdis連続?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x

Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = e^x

Question 14

Welche Aussage über die Funktion f(x) = (x²+2x)/(x-1) ist korrekt?

Accepted Answer

Die Funktion hat eine hebbare Unstetigkeitsstelle an x=1.

Answer

Die Funktion ist an x=1 stetig.

Answer

Die Funktion hat eine Sprungunstelle an x=1.

Question 15

Welche der folgenden Aussagen über die Funktion f(x) = 1/(x-2) ist korrekt?

Accepted Answer

f(x) ist nicht stetig an x=2.

Answer

f(x) ist nur an x=2 unstetig.

Answer

f(x) ist überall stetig.

Question 16

Welcher der folgenden Ausdrücke definiert den Grenzwert von f(x) für x gegen unendlich?

Accepted Answer

lim_(x->∞) f(x) = L

Answer

f(∞) = L

Answer

lim_(x->∞) f(x) = ∞

Answer

lim_(x->0) f(x) = 0

Question 17

Welche der folgenden Bedingungen ist ausreichend für die Stetigkeit einer Funktion?

Accepted Answer

Die Funktion ist an allen Punkten ihres Definitionsbereiches definiert und stetig

Answer

Die Funktion ist an allen Punkten ihres Definitionsbereiches differenzierbar

Answer

Die Funktion ist an allen Punkten ihres Definitionsbereiches integrierbar

Question 18

Berechnen Sie den Grenzwert von (x - 1) * (x^2 + 2) / (x - 2) für x gegen 2.

Accepted Answer

6

Answer

2

Answer

unendlich

Answer

0

Question 19

Welche der folgenden Aussagen definiert einen Grenzwert?

Accepted Answer

Für jedes beliebig kleine positive ε existiert ein positives δ, so dass |f(x) - L| < ε, wenn 0 < |x - c| < δ

Answer

f(c) existiert und ist gleich L

Question 20

Welcher der folgenden Grenzwerte ist unendlich groß?

Accepted Answer

lim(x->∞) e^x

Answer

lim(x->∞) sin(x)

Answer

lim(x->∞) ln(x)

Answer

lim(x->∞) 1/x

Question 21

Welche Aussage über Unstetigkeiten ist falsch?

Accepted Answer

Eine Unstetigkeit kann nur an isolierten Punkten auftreten

Answer

Eine Funktion mit einer Polstelle ist an dieser Stelle nicht stetig

Answer

Eine hebbare Unstetigkeit kann durch Einsetzen des Grenzwertes beseitigt werden

Question 22

Welche der folgenden Funktionen hat an der Stelle x = 1 einen Wendepunkt?

Accepted Answer

x³ - 3x² + 2x - 1

Answer

sin(x)

Answer

x² - 1

Answer

e^x

Question 23

Welche der folgenden Aussagen definiert den Grenzwert von f(x) für x gegen a?

Accepted Answer

lim_(x->a) f(x) = L bedeutet, dass für alle ε > 0 existiert ein δ > 0, sodass aus |x - a| < δ stets |f(x) - L| < ε folgt.

Answer

∫[a,x] f(t) dt = L ist der Integralwert von f(x) von a bis x und nicht die Definition des Grenzwertes.

Answer

f(a) = L gibt den Funktionswert an der Stelle x = a an und nicht den Grenzwert für x gegen a.

Answer

lim_(x->a) f'(x) = L beschreibt den Grenzwert der Ableitung von f(x) für x gegen a und nicht den Grenzwert von f(x) selbst.

Question 24

Welche der folgenden Aussagen zur Stetigkeit einer Funktion f(x) an der Stelle x = a ist falsch?

Accepted Answer

Wenn f(x) an der Stelle x = a stetig ist, dann existiert dort auch f'(x).

Answer

Wenn f(x) an einer Stelle x = a unstetig ist, dann existiert dort auch nicht f'(x).

Answer

Wenn f(x) an einer Stelle x = a stetig ist, dann hat sie dort einen endlichen Grenzwert.

Question 25

Welche der folgenden Funktionen ist an x = 0 nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x) ist für alle x stetig.

Answer

f(x) = e^x ist für alle x stetig.

Answer

f(x) = x^2 ist für alle x stetig.

Question 26

Berechne den Grenzwert lim_(x->∞) (x^2 - 2x + 1)/(x^2 + 3x - 4).

Accepted Answer

1

Answer

Der Grenzwert ist nicht existent.

Answer

0 ist nicht der richtige Grenzwert.

Answer

∞ ist nicht der richtige Grenzwert.

Question 27

Welche Aussage zum Satz von l'Hospital ist richtig?

Accepted Answer

Wenn lim_(x->a) f(x)/g(x) eine unbestimmte Form ist (0/0 oder ∞/∞), kann der Grenzwert als lim_(x->a) f'(x)/g'(x) berechnet werden, vorausgesetzt, dieser Grenzwert existiert.

Answer

Der Satz von l'Hospital gilt nicht für Funktionen, die an der betrachteten Stelle stetig sind.

Question 28

Welche der folgenden Funktionen ist an allen Stellen stetig?

Accepted Answer

f(x) = ln(x + 1)

Answer

f(x) = 1/x hat eine Unstetigkeitsstelle bei x = 0.

Answer

f(x) = |x - 1| hat eine Unstetigkeitsstelle bei x = 1.

Question 29

Berechne den Grenzwert lim_(x->0) (sin(x) - x)/x^3.

Accepted Answer

1/6

Answer

0 ist nicht der richtige Grenzwert.

Answer

∞ ist nicht der richtige Grenzwert.

Answer

Der Grenzwert ist nicht existent.

Question 30

Welcher Satz besagt, dass eine auf einem abgeschlossenen Intervall stetige Funktion auf diesem Intervall auch ein Maximum und ein Minimum annimmt?

Accepted Answer

Extremwertsatz

Answer

Satz von Rolle

Answer

Cauchy-Schwarz-Ungleichung

Answer

Mittelwertsatz

Question 31

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = π/2 nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |sin(x)|

Answer

f(x) = cos(x) ist an allen Stellen differenzierbar.

Answer

f(x) = x^2 ist an allen Stellen differenzierbar.

Answer

f(x) = e^x ist an allen Stellen differenzierbar.

Question 32

Welche der folgenden Aussagen zur Grenzwertberechnung ist korrekt?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Funktion f(x) an der Stelle x = a existiert, wenn der linksseitige Grenzwert lim┬(x→a-) f(x) und der rechtsseitige Grenzwert lim┬(x→a+) f(x) übereinstimmen und beide existieren.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion an einer Stelle existiert immer.

Question 33

Welcher der folgenden Ausdrücke ist äquivalent zum Grenzwert von f(x) für x gegen a?

Accepted Answer

lim┬(x→a) f(x) = f(a)

Answer

f(a) = lim┬(x→a+) f(x)

Question 34

Welche der folgenden Aussagen über stetige Funktionen ist falsch?

Accepted Answer

Stetige Funktionen können an einer Stelle einen Sprung haben.

Answer

Stetige Funktionen sind an jedem Punkt in ihrem Definitionsbereich definiert.

Answer

Stetige Funktionen haben an jedem Punkt in ihrem Definitionsbereich einen Grenzwert.

Question 35

Welcher der folgenden Sätze ist eine notwendige Bedingung für die Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle?

Accepted Answer

Der Grenzwert der Funktion an der Stelle existiert.

Answer

Die Ableitung der Funktion an der Stelle existiert.

Answer

Die Funktion ist an der Stelle differenzierbar.

Question 36

Welche der folgenden Aussagen über den Grenzwert von f(x) * g(x) für x gegen a ist richtig?

Accepted Answer

Wenn lim┬(x→a) f(x) und lim┬(x→a) g(x) beide existieren, dann existiert auch lim┬(x→a) f(x) * g(x) und ist gleich lim┬(x→a) f(x) * lim┬(x→a) g(x).

Answer

Wenn lim┬(x→a) f(x) und lim┬(x→a) g(x) beide existieren, dann existiert lim┬(x→a) f(x) * g(x) immer.

Question 37

Welche der folgenden Aussagen über die Stetigkeit von zusammengesetzten Funktionen ist richtig?

Accepted Answer

Wenn f(x) an y = g(x) stetig ist und g(x) an x = a stetig ist, dann ist f(g(x)) an x = a stetig.

Answer

Wenn f(x) an x = a stetig ist und g(x) an y = a stetig ist, dann ist f(g(x)) an x = a stetig.

Question 38

Welche Aussage ist richtig über die Funktion ( f(x) = 1/(x-2) )?

Accepted Answer

Sie ist an der Stelle ( x=2 ) unstetig.

Answer

Sie ist an der Stelle ( x=2 ) stetig.

Answer

Sie hat an der Stelle ( x=2 ) einen Sprung von 2.

Answer

Sie ist an der Stelle ( x=2 ) differenzierbar.

Question 39

Geben Sie die Epsilon-Delta-Definition der Stetigkeit an einer Stelle ( c ) an.

Accepted Answer

Für jedes ( varepsilon > 0 ) existiert ein ( delta > 0 ) so dass ( |f(x)-f(c)| < varepsilon ) für alle ( x ) mit ( |x-c| < delta ).

Answer

Für jedes ( delta > 0 ) existiert ein ( varepsilon > 0 ) so dass ( |f(x)-f(c)| < varepsilon ) für alle ( x ) mit ( |x-c| < delta ).

Question 40

Zeigen Sie, dass die Funktion ( f(x) = x^2 ) für alle reellen Zahlen ( x ) stetig ist.

Accepted Answer

Verwenden Sie die Epsilon-Delta-Definition der Stetigkeit.

Answer

Zeigen Sie, dass die Ableitung von ( f(x) ) für alle reellen Zahlen ( x ) existiert.

Answer

Zeigen Sie, dass ( f(x) ) an jeder rationalen Zahl ( x ) stetig ist.

Question 41

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Definition des Grenzwertes einer Funktion f(x) für x gegen a?

Accepted Answer

Für jedes beliebig kleine ε > 0 existiert ein δ > 0, sodass aus |x - a| < δ stets |f(x) - L| < ε folgt.

Answer

Für jedes beliebig kleine ε > 0 existiert ein δ > 0, sodass aus |x - a| > δ stets |f(x) - L| > ε folgt.

Answer

Für jedes beliebig kleine δ > 0 existiert ein ε > 0, sodass aus |x - a| < δ stets |f(x) - L| > ε folgt.

Question 42

Sei f(x) = (x - 1)² + 2. An welcher Stelle ist f(x) nicht stetig?

Accepted Answer

x = 1

Answer

x = 2

Answer

x = 0

Question 43

Sei f(x) = { x² für x ≤ 1, 2x - 1 für x > 1 }. An welcher Stelle ist f(x) stetig, aber nicht differenzierbar?

Accepted Answer

x = 1

Answer

x = 2

Answer

x = 0

Answer

f(x) ist überall stetig und differenzierbar

Question 44

Welcher der folgenden Begriffe beschreibt eine Funktion, die an allen Stellen ihres Definitionsbereiches stetig ist?

Accepted Answer

Stetige Funktion

Answer

Monotone Funktion

Answer

Integrierbare Funktion

Answer

Differenzierbare Funktion

Question 45

Welche Aussage über den Zusammenhang zwischen Grenzwerten und Stetigkeit ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Funktion kann an einer Stelle einen Grenzwert haben, ohne dort stetig zu sein.

Answer

Eine Funktion ist nur dann an einer Stelle stetig, wenn der Grenzwert dort nicht existiert.

Answer

Wenn eine Funktion an einer Stelle einen Grenzwert hat, ist sie dort auch stetig.

Question 46

Bestimme den Grenzwert der Funktion f(x) = (e^x - 1) / x für x, das gegen 0 strebt.

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

unendlich

Answer

e

Question 47

Bestimme den Grenzwert der Funktion f(x) = (x² - 9) / (x - 3) für x, das gegen 3 strebt.

Accepted Answer

6

Answer

0

Answer

unendlich

Answer

-6

Question 48

Welche Aussage über den Grenzwert der Summe von Funktionen ist korrekt?

Accepted Answer

Der Grenzwert der Summe von Funktionen ist gleich der Summe der Grenzwerte der einzelnen Funktionen.

Answer

Der Grenzwert der Summe von Funktionen ist gleich dem größten Grenzwert der einzelnen Funktionen.

Answer

Der Grenzwert der Summe von Funktionen ist immer 0.

Question 49

Welche der folgenden Aussagen beschreibt den Grenzwert einer Funktion am besten?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Funktion ist der Wert, dem sich die Funktionswerte annähern, wenn die unabhängige Variable einem bestimmten Wert entgegenstrebt.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion ist der höchste Wert, den die Funktion annimmt.

Question 50

Welche der folgenden Funktionen hat einen Grenzwert von 2 für x → 1?

Accepted Answer

f(x) = 2x

Answer

f(x) = x + 1

Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = x²

Question 51

Welche der folgenden Aussagen ist falsch bezüglich der Stetigkeit einer Funktion?

Accepted Answer

Eine Funktion ist stetig, wenn sie an einer bestimmten Stelle eine Unstetigkeitsstelle hat.

Answer

Eine Funktion ist stetig, wenn ihr Graph ohne Unterbrechungen gezeichnet werden kann.

Answer

Eine Funktion ist stetig, wenn der Grenzwert der Funktion an einer bestimmten Stelle existiert und gleich dem Funktionswert an dieser Stelle ist.

Question 52

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 stetig?

Accepted Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = |x| / x

Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = sin(1/x)

Question 53

Was ist der Grenzwert der Funktion f(x) = (x² - 1) / (x - 1) für x → 1?

Accepted Answer

2

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

0

Answer

1

Question 54

Welche der folgenden Aussagen ist richtig bezüglich des Grenzwerts der Funktion f(x) = 1/x für x → 0?

Accepted Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

Der Grenzwert ist 0.

Answer

Der Grenzwert ist ∞.

Answer

Der Grenzwert ist 1.

Question 55

Welches ist der Grenzwert der Funktion f(x) = (x³ - 8) / (x - 2) für x → 2?

Accepted Answer

12

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

4

Answer

8

Question 56

Welche der folgenden Funktionen hat eine hebbare Unstetigkeitsstelle an der Stelle x = 2?

Accepted Answer

f(x) = (x² - 4) / (x - 2)

Answer

f(x) = sin(1/(x - 2))

Answer

f(x) = 1 / (x - 2)

Answer

f(x) = |x - 2|

Question 57

Welche der folgenden Aussagen ist falsch bezüglich der Stetigkeit von Polynomfunktionen?

Accepted Answer

Polynomfunktionen sind nur an bestimmten Stellen stetig.

Answer

Polynomfunktionen sind überall stetig.

Answer

Polynomfunktionen haben keine Unstetigkeitsstellen.

Question 58

Welche der folgenden Funktionen hat eine Sprungstelle an der Stelle x = 0?

Accepted Answer

f(x) = { 1, x ≥ 0; -1, x < 0 }

Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = x²