Grenzwerte und Stetigkeit: Online-Quiz für Maschinenbau-Studierende

Question 1

Die Funktion  f(x) = sin(x) / x ist für x ungleich 0 definiert. Wie kannst du zeigen, dass sie in diesem Bereich stetig ist?

Accepted Answer

Zeige, dass der Grenzwert von f(x) für x gegen 0 gleich 1 ist.

Answer

Zeige, dass f(x) für x = 0 nicht definiert ist, aber der einseitige Grenzwert existiert.

Question 2

Ist die Funktion ( f(x) = rac{x^2 - 1}{|x - 1|} ) an der Stelle ( x = 1 ) stetig?

Accepted Answer

Nein, die Funktion ist nicht stetig.

Answer

Ja, die Funktion ist stetig.

Answer

Die Funktion ist nur für ( x > 1 ) stetig.

Answer

Die Funktion ist nur für ( x < 1 ) stetig.

Question 3

Welcher der folgenden Grenzwertsätze ist für den Grenzwert einer rationalen Funktion anwendbar?

Accepted Answer

Limesregel für rationale Funktionen

Answer

Limesregel für konstante Funktionen

Answer

Limesregel für Polynome

Answer

Limesregel für Wurzelfunktionen

Question 4

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 unstetig?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 5

Sei f(x) = 1 / x. Welcher Typ von Unstetigkeit liegt an der Stelle x = 0 vor?

Accepted Answer

Polunstetigkeit

Answer

Hebungsunstetigkeit

Answer

Sprungunstetigkeit

Answer

Wesentliche Unstetigkeit

Question 6

Sei f(x) = ln(x). Bestimmen Sie die Ableitung von f(x).

Accepted Answer

1 / x

Answer

x

Answer

e^x

Answer

ln(x)

Question 7

Sei f(x) eine differenzierbare Funktion. Welcher Satz besagt, dass f(x) auf einem offenen Intervall genau dann monoton ist, wenn ihre Ableitung f'(x) auf diesem Intervall positiv bzw. negativ ist?

Accepted Answer

Monotoniesatz

Answer

Satz von Rolle

Answer

Zwischenwertsatz

Answer

Mittelwertsatz

Question 8

Welche Art von Unstetigkeit liegt bei der Funktion 
 ( f(x) = \frac{2x + 1}{x^2 - 1} ) 
für ( x = 1 ) vor?

Accepted Answer

Hebbare Unstetigkeit

Answer

Sprungunstigkeit

Answer

Unendliche Unstetigkeit

Answer

Keine Unstetigkeit

Question 9

Welche Funktion ist an x = 0 nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 10

Für lim (x -> ∞) (x^2 - 1)/(x^2 + 1) gilt:

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

unendlich

Answer

nicht existent

Question 11

Welche Funktion ist an x = 2 nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = |x - 2|

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 12

Der Satz, der besagt, dass der Grenzwert eines Produkts gleich dem Produkt der Grenzwerte ist, lautet:

Accepted Answer

Satz über den Grenzwert des Produkts

Answer

Satz von L'Hospital

Answer

Satz über den Grenzwert des Quotienten

Answer

Satz vom eindeutigen Grenzwert

Question 13

Welche Funktion hat eine vertikale Asymptote bei x = 1?

Accepted Answer

f(x) = 1/(x - 1)

Answer

f(x) = sin(x)/(x - 1)

Answer

f(x) = e^(x - 1)

Answer

f(x) = x^2 - 1

Question 14

Welche Aussage beschreibt die Beziehung zwischen Grenzwerten und Stetigkeit korrekt?

Accepted Answer

Eine Funktion ist an einer Stelle stetig, wenn ihr Grenzwert an dieser Stelle existiert.

Answer

Eine Funktion ist an einer Stelle stetig, wenn ihre Ableitung an dieser Stelle existiert.

Answer

Eine Funktion ist an einer Stelle stetig, wenn ihre zweite Ableitung an dieser Stelle existiert.

Answer

Eine Funktion ist an einer Stelle stetig, wenn ihr Graph an dieser Stelle keine Lücken aufweist.

Question 15

Welche der folgenden Aussagen über den Grenzwert einer Funktion ist korrekt?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Funktion f(x) existiert an einem Punkt a genau dann, wenn der Limes superior von f(x) für x gegen a und der Limes inferior von f(x) für x gegen a übereinstimmen.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion ist immer gleich dem Funktionswert im betrachteten Punkt.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion ist immer die Steigung der Funktion im betrachteten Punkt.

Question 16

Bestimme den Grenzwert von f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1) für x gegen 1.

Accepted Answer

2

Answer

-2

Answer

unendlich

Answer

0

Question 17

Welche der folgenden Aussagen über die Stetigkeit einer Funktion ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Funktion f(x) ist an einer Stelle a stetig, wenn sie an a einen Grenzwert besitzt und dieser Grenzwert mit dem Funktionswert f(a) übereinstimmt.

Answer

Eine Funktion ist an einer Stelle stetig, wenn ihr Graph an dieser Stelle keine Sprünge oder Lücken aufweist.

Question 18

Welche der folgenden Funktionen ist an keiner Stelle stetig?

Accepted Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 19

Welche der folgenden Funktionen ist an keiner Stelle differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = abs(x)

Answer

f(x) = x^3

Answer

f(x) = sin(x)

Question 20

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 stetig? Hinweis: Überlegen Sie die Definition von Stetigkeit.

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = sin(1 / x)

Answer

f(x) = x^2 - 1

Question 21

Welcher der folgenden Grenzwertsätze kann zur Berechnung von lim x gegen unendlich (x^2 + 1) / (x - 1) verwendet werden? Hinweis: Überprüfen Sie die Anwendungsbedingungen jedes Grenzwertsatzes.

Accepted Answer

Polynomialsatz

Answer

Squeeze-Theorem

Answer

ε-δ-Definition

Answer

Cauchy-Folge-Kriterium

Question 22

Geben Sie den Grenzwert von f(x) = (e^x - 1) / x für x gegen 0 an. Hinweis: Verwenden Sie gegebenenfalls l'Hospital's Regel.

Accepted Answer

1

Answer

Nicht existent

Answer

0

Answer

e

Question 23

Welche der folgenden Funktionen ist gleichmäßig stetig auf dem Intervall [0, 1]? Hinweis: Überprüfen Sie die Definition von gleichmäßiger Stetigkeit

Accepted Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(1 / x)

Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = |x|

Question 24

Welche der folgenden Aussagen über die Funktion f(x) = x^2 auf dem Intervall [0, 1] ist richtig? Hinweis: Untersuchen Sie die Riemann-Integrierbarkeit.

Accepted Answer

f(x) ist Riemann-integrierbar.

Answer

f(x) ist weder Riemann- noch Lebesgue-integrierbar.

Answer

f(x) ist Lebesgue-integrierbar, aber nicht Riemann-integrierbar.

Answer

f(x) ist nicht Riemann-integrierbar.

Question 25

Berechnen Sie den Grenzwert von f(x) = (x² - 4) / (x - 2) für x gegen 2.

Accepted Answer

**4**

Answer

0

Answer

unendlich

Question 26

Welche Aussage ist über die Funktion f(x) = |x| an der Stelle x = 0 richtig?

Accepted Answer

**f(x) ist nicht stetig.**

Answer

f(x) ist unendlich.

Answer

f(x) hat einen Sprung.

Answer

f(x) ist stetig.

Question 27

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = x³ - 2x² + 5.

Accepted Answer

**3x² - 4x**

Answer

x³ - 4x

Answer

3x - 4

Answer

x³ - 2x

Question 28

Welche Aussage ist über die Funktion f(x) = 1 / x an der Stelle x = 0 richtig?

Accepted Answer

**f(x) ist nicht definiert.**

Answer

f(x) hat einen Sprung.

Answer

f(x) ist unendlich.

Answer

f(x) ist stetig.

Question 29

Berechnen Sie den Grenzwert von f(x) = (sin(x) - x) / (x² - π²) für x gegen π.

Accepted Answer

**-1/2**

Answer

1/2

Answer

0

Answer

unendlich

Question 30

Welche Aussage ist über die Funktion f(x) = √(x - 1) an der Stelle x = 1 richtig?

Accepted Answer

**f(x) ist nicht differenzierbar.**

Answer

f(x) ist differenzierbar.

Answer

f(x) ist unstetig.

Answer

f(x) hat einen Knick.

Question 31

Berechnen Sie den Grenzwert von f(x) = (e^x - 1) / x für x gegen 0.

Accepted Answer

**1**

Answer

e

Answer

0

Answer

unendlich

Question 32

Welche Aussage ist über die Funktion f(x) = |x + 1| an der Stelle x = -1 richtig?

Accepted Answer

**f(x) hat einen Knick.**

Answer

f(x) ist stetig.

Answer

f(x) ist unendlich.

Answer

f(x) hat einen Sprung.

Question 33

Berechnen Sie den Grenzwert von f(x) = (x² - 1) / (x + 1) für x gegen -1.

Accepted Answer

**-2**

Answer

unendlich

Answer

0

Answer

2

Question 34

Welche Aussage ist über die Funktion f(x) = arctan(x) an der Stelle x = 0 richtig?

Accepted Answer

**f(x) ist stetig und differenzierbar.**

Answer

f(x) ist nicht stetig, aber differenzierbar.

Answer

f(x) ist weder stetig noch differenzierbar.

Answer

f(x) ist stetig, aber nicht differenzierbar.

Question 35

Welche der folgenden Aussagen über den Grenzwert einer Funktion ist **falsch**?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Funktion existiert immer an jeder Stelle.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann an einer Stelle existieren, obwohl die Funktion an dieser Stelle nicht definiert ist.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann von der Richtung abhängen, aus der man sich dem Grenzwert nähert.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann endlich oder unendlich sein.

Question 36

Die Funktion f(x) = (x^2 - 4)/(x - 2) hat an der Stelle x = 2 ...

Accepted Answer

eine hebbare Unstetigkeitsstelle.

Answer

eine Sprungstelle.

Answer

eine senkrechte Asymptote.

Answer

eine Polstelle.

Question 37

Welcher Grenzwert gilt für lim_(x->∞) (3x^2 + 2x - 1)/(x^2 - 5)?

Accepted Answer

3

Answer

-1

Answer

0

Answer

∞

Question 38

Welche Bedingung muss für eine Funktion f(x) an der Stelle x = a erfüllt sein, damit sie dort stetig ist?

Accepted Answer

lim_(x->a) f(x) = f(a)

Answer

f(a) ≠ 0

Answer

f(x) ist an der Stelle x = a differenzierbar.

Answer

f(x) ist an der Stelle x = a monoton.

Question 39

Die Funktion f(x) = |x| ist an der Stelle x = 0 ...

Accepted Answer

stetig, aber nicht differenzierbar.

Answer

differenzierbar, aber nicht stetig.

Answer

stetig und differenzierbar.

Answer

nicht stetig.

Question 40

Welche der folgenden Funktionen ist **nicht** stetig im Intervall [-1, 1]?

Accepted Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x^2

Question 41

Welche der folgenden Aussagen über die Ableitung einer Funktion ist **richtig**?

Accepted Answer

Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle gibt die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion an dieser Stelle an.

Answer

Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle gibt den Wert der Funktion an dieser Stelle an.

Question 42

Welche der folgenden Funktionen hat eine horizontale Asymptote bei y = 0?

Accepted Answer

f(x) = 1/x^2

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 43

Ein Flugzeug fliegt mit konstanter Geschwindigkeit von 800 km/h. Welche der folgenden Funktionen beschreibt den zurückgelegten Weg s(t) in Abhängigkeit von der Zeit t?

Accepted Answer

s(t) = 800t

Answer

s(t) = 800 + t

Answer

s(t) = 800/t

Answer

s(t) = 800t^2

Question 44

Welche der folgenden Aussagen ist richtig?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Funktion f(x) an der Stelle x = a ist eine Zahl L, wenn für jedes ε > 0 eine δ > 0 existiert, sodass |f(x) - L| < ε für alle x mit 0 < |x - a| < δ.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion f(x) an der Stelle x = a ist eine Zahl L, wenn f(a) = L.

Question 45

Bestimmen Sie den Grenzwert von f(x) = (x² - 1) / (x - 1) für x → 1.

Accepted Answer

2

Answer

-1

Answer

Unendlich

Answer

1

Question 46

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 stetig?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x² - 1

Answer

f(x) = 1 / x

Question 47

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = x³ - 2x² + 1.

Accepted Answer

3x² - 4x

Answer

3x² + 4x

Answer

x³ - 4x

Question 48

Welche der folgenden Aussagen ist richtig?

Accepted Answer

Wenn eine Funktion f(x) an der Stelle x = a stetig ist, dann ist sie auch differenzierbar.

Answer

Eine Funktion kann sowohl stetig als auch differenzierbar sein.

Answer

Wenn eine Funktion f(x) differenzierbar ist, dann ist sie auch stetig.

Question 49

Bestimmen Sie den Grenzwert von f(x) = (sin(x) - x) / (x - π/2) für x → π/2.

Accepted Answer

-1

Answer

Unendlich

Answer

0

Answer

1

Question 50

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 1 nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = 1 / (x - 1)

Answer

f(x) = |x - 1|

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x²

Question 51

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = ln(x²) + e^x.

Accepted Answer

2x / x² + e^x

Answer

x² / ln(x) + e^x

Answer

ln(x) + e^x

Answer

2x / x² - e^x

Question 52

Welche der folgenden Aussagen ist falsch?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Funktion an einer Stelle kann nicht existieren.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann gleich unendlich sein.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann gleich minus unendlich sein.

Question 53

Bestimmen Sie die Unstetigkeitsstelle der Funktion f(x) = x / (x² - 4).

Accepted Answer

x = 2

Answer

x = 0

Answer

Die Funktion hat keine Unstetigkeitsstellen.

Answer

x = -2

Question 54

Was ist der Grenzwert der Funktion f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1) für x gegen 1?

Accepted Answer

2

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

1

Answer

0

Question 55

Welche Aussage ist im Allgemeinen falsch?

Accepted Answer

Ist eine Funktion in einem Punkt stetig, so ist sie dort auch differenzierbar.

Answer

Ist eine Funktion in einem Punkt differenzierbar, so ist sie dort auch stetig.

Answer

Eine stetige Funktion kann Sprünge aufweisen.

Question 56

Bestimmen Sie den Grenzwert von lim (x -> ∞) (3x^2 + 2x - 1) / (2x^2 - x + 3).

Accepted Answer

3/2

Answer

∞

Answer

0

Answer

-1/3

Question 57

Für welche Werte von a ist die Funktion f(x) = { x^2 - 1, x < 1;  2ax, x ≥ 1 } an der Stelle x = 1 stetig?

Accepted Answer

a = 0

Answer

Für keinen Wert von a.

Answer

a = 1

Answer

a = -1

Question 58

Welche Aussage über die Funktion f(x) = |x| / x ist korrekt?

Accepted Answer

Die Funktion hat an der Stelle x = 0 eine Sprungstelle.

Answer

Die Funktion ist an der Stelle x = 0 differenzierbar.

Answer

Die Funktion ist an der Stelle x = 0 stetig.

Question 59

Welcher Satz liefert eine wichtige Aussage über stetige Funktionen auf einem abgeschlossenen Intervall?

Accepted Answer

Zwischenwertsatz

Answer

Mittelwertsatz

Answer

Satz von Rolle

Question 60

Bestimmen Sie den Grenzwert von lim (x -> 0) sin(x) / x.

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

∞

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Question 61

Die Funktion f(x) = 1/x ist...

Accepted Answer

auf dem Intervall (0, ∞) stetig.

Answer

auf dem Intervall [-1, 1] stetig.

Answer

auf dem Intervall (-∞, ∞) stetig.

Answer

an der Stelle x = 0 stetig.

Question 62

Was ist der Grenzwert von lim (n -> ∞) (1 + 1/n)^n?

Accepted Answer

e

Answer

1

Answer

0

Question 63

Eine Funktion f(x) hat an der Stelle x = a eine Polstelle, wenn...

Accepted Answer

der Grenzwert lim (x -> a) f(x) unendlich ist.

Answer

die Funktion an der Stelle x = a stetig ist.

Answer

die Funktion an der Stelle x = a definiert ist.

Answer

der Grenzwert lim (x -> a) f(x) gleich Null ist.