Lineare Gleichungssysteme: Interaktive Übungen und Quizze für Bauingenieure

Question 1

Welches Lösungsverfahren ist optimal für die schnelle und präzise Lösung eines linearen Gleichungssystems mit n Gleichungen und n Unbekannten?

Accepted Answer

Gauß-Eliminationsverfahren

Answer

Gauß-Seidel-Verfahren

Answer

Jacobi-Verfahren

Question 2

Welches Verfahren eignet sich zur Lösung eines linearen Gleichungssystems mit einer eindeutigen Lösung?

Accepted Answer

Gauß-Elimination mit vollständiger Spaltenpivotisierung

Answer

Jacobi-Iteration

Answer

Gauß-Seidel-Iteration

Answer

Potenzreihenverfahren

Question 3

Welche Aussage ist über die Gauß-Elimination mit vollständiger Spaltenpivotisierung korrekt?

Accepted Answer

Sie transformiert das Gleichungssystem in eine äquivalente dreiecksförmige Matrix.

Answer

Sie ist immer numerisch stabil.

Answer

Sie kann nur für quadratische Gleichungssysteme angewendet werden.

Answer

Sie erfordert keine Spaltenvertauschungen.

Question 4

Welche Methode kann zur Verbesserung der Konvergenzgeschwindigkeit der Gauß-Seidel-Iteration eingesetzt werden?

Accepted Answer

SOR-Verfahren

Answer

Matrixspaltung

Answer

Richardson-Extrapolation

Answer

Jacobi-Iteration

Question 5

Welche Anwendung findet die Lösung linearer Gleichungssysteme im Bauingenieurwesen?

Accepted Answer

Tragwerksberechnung

Answer

Strömungsanalyse

Answer

Materialmodellierung

Answer

Gebäudesimulation

Question 6

Was misst die Konditionszahl eines linearen Gleichungssystems?

Accepted Answer

Die Empfindlichkeit der Lösung gegenüber Änderungen in den Eingangsdaten

Answer

Die Genauigkeit der Lösung

Answer

Die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems

Answer

Die maximale Eigenwertgröße der Koeffizientenmatrix

Question 7

Welches Iterationsverfahren für lineare Gleichungssysteme eignet sich besonders für die Berechnung von Lösungen mit hoher Genauigkeit?

Accepted Answer

Gauß-Seidel-Verfahren

Answer

Jacobi-Verfahren

Answer

Gauss-Eliminationsverfahren

Answer

LU-Zerlegung

Question 8

Welche Aussage ist richtig für die Lösungen eines inhomogenen linearen Gleichungssystems?

Accepted Answer

Die Lösung ist eindeutig, wenn die Koeffizientenmatrix regulär ist.

Answer

Die Lösung kann nicht eindeutig sein, wenn die Koeffizientenmatrix singulär ist.

Answer

Die Lösung ist immer eindeutig, unabhängig von der Koeffizientenmatrix.

Answer

Die Lösung kann nicht eindeutig sein, wenn die Koeffizientenmatrix regulär ist.

Question 9

Was ist die Bedingung für die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems?

Accepted Answer

Der Rang der erweiterten Matrix ist gleich dem Rang der Koeffizientenmatrix.

Answer

Der Rang der Koeffizientenmatrix ist gleich der Anzahl der Variablen.

Answer

Die Koeffizientenmatrix ist eine Diagonalmatrix.

Answer

Die erweiterte Matrix ist eine Dreiecksmatrix.

Question 10

Welche Aussage über die Inverse einer Matrix ist falsch?

Accepted Answer

Die Inverse einer Matrix ist immer eine symmetrische Matrix.

Answer

Die Inverse einer Matrix existiert nur, wenn die Determinante ungleich Null ist.

Answer

Die Inverse einer Matrix ist eine eindeutige Matrix.

Answer

Die Inverse einer Matrix kann durch das Adjugate der Matrix und die Determinante berechnet werden.

Question 11

Was ist der Zweck der Gauß-Elimination?

Accepted Answer

Ein lineares Gleichungssystem in eine Dreiecksmatrix umzuwandeln

Answer

Die Eigenwerte einer Matrix zu berechnen

Answer

Eine Matrix in ihre Eigenvektoren zu zerlegen

Answer

Die kleinste Quadrate Lösung eines Überbestimmten Systems zu finden

Question 12

Welche Aussage über den Eigenwert einer Matrix ist falsch?

Accepted Answer

Eigenwerte sind immer reelle Zahlen.

Answer

Ein Eigenwert ist eine Wurzel des charakteristischen Polynoms der Matrix.

Answer

Jeder Eigenwert entspricht einem eindeutigen Eigenvektor.

Answer

Die Summe der Eigenwerte einer Matrix ist gleich der Spur der Matrix.

Question 13

Welche der aufgeführten Methoden zur Lösung linearer Gleichungssysteme liefert keine Fehlerabschätzung?

Accepted Answer

Jacobi-Iteration ohne Vorbedingung

Answer

Gauß-Elimination mit vollständiger Pivotauswahl

Answer

LU-Zerlegung mit Pivotisierung

Answer

QR-Zerlegung mit Householder-Transformationen

Question 14

Welche Aussage beschreibt die Kondition einer Matrix?

Accepted Answer

Die Kondition einer Matrix ist ein Maß für ihre Sensitivität gegenüber kleinen Änderungen in den Eingabedaten.

Answer

Die Kondition einer Matrix ist ein Maß für ihre Größe.

Answer

Die Kondition einer Matrix ist ein Maß für die Anzahl ihrer Eigenwerte.

Answer

Die Kondition einer Matrix ist ein Maß für ihre Spur.

Question 15

Welche Aussage beschreibt die numerische Stabilität einer Methode zur Lösung linearer Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Eine Methode ist numerisch stabil, wenn sie für schlecht konditionierte Matrizen verlässliche Lösungen liefert.

Answer

Eine Methode ist numerisch stabil, wenn sie für gut konditionierte Matrizen verlässliche Lösungen liefert.

Answer

Eine Methode ist numerisch stabil, wenn sie für alle Matrizen verlässliche Lösungen liefert.

Answer

Eine Methode ist numerisch stabil, wenn sie immer eine Lösung liefert, auch wenn keine existiert.

Question 16

Welche der folgenden Methoden ist ein iteratives Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Jacobi-Iteration mit Diagonaldominanz

Answer

Gauß-Elimination mit vollständiger Pivotauswahl

Answer

LU-Zerlegung mit Pivotisierung

Answer

QR-Zerlegung mit Householder-Transformationen

Question 17

Welche Eigenschaft trifft auf eine positiv definite Matrix zu?

Accepted Answer

Alle ihre Eigenwerte sind positiv.

Answer

Alle ihre Eigenwerte sind negativ.

Answer

Alle ihre Hauptdiagonalelemente sind positiv.

Answer

Alle ihre Nebendiagonalelemente sind positiv.

Question 18

Welche der folgenden Methoden eignet sich am besten zur Lösung eines großen, schwach besetzten linearen Gleichungssystems?

Accepted Answer

Jacobi-Iteration mit Diagonaldominanz

Answer

Gauß-Elimination mit vollständiger Pivotauswahl

Answer

LU-Zerlegung mit Pivotisierung

Answer

QR-Zerlegung mit Householder-Transformationen

Question 19

Welches Verfahren eignet sich zur Lösung eines linearen Gleichungssystems mit mehreren Unbekannten optimal?

Accepted Answer

Gauß-Algorithmus

Answer

Cramer'sche Regel

Answer

Matrixinversion

Answer

Determinantenberechnung

Question 20

Welche Aussage zur Fehlerabschätzung bei numerischen Lösungen linearer Gleichungssysteme ist korrekt?

Accepted Answer

Der relative Fehler des Ergebnisses ist abhängig von der Kondition der Koeffizientenmatrix.

Answer

Die Fehlerabschätzung ist nur für direkte Lösungsverfahren möglich.

Answer

Der absolute Fehler des Ergebnisses ist immer kleiner als der Fehler der Eingabedaten.

Question 21

Welcher Satz beschreibt den Zusammenhang zwischen der Determinante und der Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems?

Accepted Answer

Cramer'scher Satz

Answer

Gauß-Algorithmus

Answer

Fehlerabschätzungssatz

Answer

Inversionsformel

Question 22

Welcher Begriff beschreibt die Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten einer Matrix?

Accepted Answer

Rang

Answer

Spur

Answer

Determinante

Question 23

Welche der folgenden Matrizen ist symmetrisch?

Accepted Answer

Eine Matrix, bei der alle Einträge unterhalb der Hauptdiagonale gleich den Einträgen oberhalb der Hauptdiagonale sind.

Answer

Eine Matrix, bei der alle Einträge oberhalb der Hauptdiagonale gleich Null sind.

Question 24

Welcher Begriff beschreibt einen Vektor, der orthogonal zu einem anderen Vektor ist?

Accepted Answer

Orthogonaler Vektor

Answer

Einheitsvektor

Answer

Linear unabhängiger Vektor

Answer

Eigenvektor

Question 25

Welches der folgenden Verfahren gibt eine obere Schranke für den Fehler bei der numerischen Lösung linearer Gleichungssysteme an?

Accepted Answer

Fehlerabschätzung

Answer

Approximation

Answer

Iteration

Answer

Regressionsanalyse

Question 26

Welches der folgenden Gleichungssysteme hat die triviale Lösung (0, 0)?

Accepted Answer

x - y = 0, 2x - 2y = 0

Answer

x + y = 1, 2x + 2y = 2

Answer

x - 2y = 1, 2x - 4y = 2

Question 27

Welche Aussage beschreibt die Gauß-Jordan-Elimination am besten?

Accepted Answer

Ein Verfahren, das ein lineares Gleichungssystem in eine Dreiecksmatrix umwandelt.

Answer

Ein Verfahren zur Bestimmung der Determinante einer Matrix.

Answer

Ein numerisches Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme.

Question 28

Welche Charakteristika können lineare Gleichungssysteme aufweisen?

Accepted Answer

Eindeutig lösbar, mehrdeutig lösbar oder nicht lösbar

Answer

Immer eindeutig lösbar

Answer

Immer mehrdeutig lösbar

Question 29

Welche der folgenden Matrizen ist invertierbar?

Accepted Answer

[[1, 2], [-3, 5]]

Answer

[[1, 2], [1, 2]]

Answer

[[0, 0], [0, 0]]

Answer

[[1, 2], [2, 4]]

Question 30

Was beschreibt die Konditionszahl κ(A) einer Matrix A?

Accepted Answer

Die Konditionierung der Matrix, je größer κ(A), desto schlechter die Konditionierung

Answer

Die Determinante der Matrix

Answer

Den Rang der Matrix

Question 31

Welches Verfahren eignet sich zur approximativen Bestimmung numerischer Lösungen linearer Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Iterationsverfahren

Answer

Eigenwertzerlegung

Answer

Cramer-Regel

Answer

Gauß-Algorithmus

Question 32

Welches Löseverfahren eignet sich für lineare Gleichungssysteme mit einer dreieckigen Koeffizientenmatrix?

Accepted Answer

Rückwärtseinsetzen

Answer

LU-Zerlegung

Answer

Gauß-Jordan-Elimination

Answer

Cramer-Regel

Question 33

Wie lautet die Fehlerabschätzung für die Lösung eines linearen Gleichungssystems mit der Norm-2-Kondition?

Accepted Answer

||Δx|| ≤ κ(A) ||Δb||

Answer

||Δx|| ≤ κ(A)⁻¹ ||Δb||

Answer

||Δb|| ≤ κ(A)⁻¹ ||Δx||

Answer

||Δb|| ≤ κ(A) ||Δx||

Question 34

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Stabilität eines linearen Gleichungssystems?

Accepted Answer

Kleine Änderungen in den Eingabedaten führen zu kleinen Änderungen in der Lösung.

Answer

Die Koeffizientenmatrix des Systems ist regulär.

Answer

Das System hat immer eine eindeutige Lösung.

Question 35

Welches Verfahren zur Berechnung der Determinante einer Matrix ist für große Matrizen geeignet?

Accepted Answer

LU-Zerlegung

Answer

Cramer-Regel

Answer

Laplace-Entwicklung

Answer

Gauß-Jordan-Elimination

Question 36

Welche Aussage trifft auf die Rangstufe einer Matrix zu?

Accepted Answer

Sie gibt die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten der Matrix an.

Answer

Sie ist gleich der Anzahl der Lösungen des zugehörigen linearen Gleichungssystems.

Answer

Sie ist gleich der Determinante der Matrix.

Question 37

Welches Kriterium bestimmt die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems mit der erweiterten Koeffizientenmatrix [A|b]?

Accepted Answer

Der Rang von [A|b] ist gleich dem Rang von A.

Answer

Der Rang von [A|b] ist kleiner als der Rang von A.

Answer

Der Rang von [A|b] ist größer als der Rang von A.

Answer

Der Rang von [A|b] ist gleich der Zeilenanzahl von A.

Question 38

Wie lautet die Formel zur Berechnung der Inversen einer regulären Matrix A?

Accepted Answer

A⁻¹ = (1/det(A)) A^{adj}

Answer

A⁻¹ = det(A)⁻¹ A^{adj}

Answer

A⁻¹ = det(A) A^{adj}

Answer

A⁻¹ = A^{adj}/det(A)

Question 39

Was versteht man unter einem orthogonalen Komplement?

Accepted Answer

Ein Unterraum eines Vektorraums, der orthogonal zu einem anderen Unterraum ist.

Answer

Ein Unterraum eines Vektorraums, der keine gemeinsamen Vektoren mit einem anderen Unterraum hat.

Answer

Ein Unterraum eines Vektorraums, der die gesamte Dimension des Vektorraums umfasst.

Question 40

Ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und vier Variablen hat...

Accepted Answer

entweder unendlich viele Lösungen oder keine Lösung.

Answer

höchstens drei Lösungen.

Answer

mindestens eine Lösung.

Answer

genau eine Lösung.

Question 41

Welche Methode ist am besten geeignet, um die Kondition eines linearen Gleichungssystems zu beurteilen?

Accepted Answer

Die Konditionszahl.

Answer

Cramer's Regel.

Answer

Die Determinante.

Answer

Das Gauß-Jordan-Eliminationsverfahren.

Question 42

Welche Aussage über die Sensitivität eines linearen Gleichungssystems ist korrekt?

Accepted Answer

Ein Gleichungssystem ist sensitiv, wenn kleine Änderungen in den Koeffizienten zu großen Änderungen in der Lösung führen.

Answer

Ein Gleichungssystem ist sensitiv, wenn es nur eine Lösung hat.

Answer

Ein Gleichungssystem ist sensitiv, wenn es unendlich viele Lösungen hat.

Question 43

Welche Methode ist am besten geeignet, um die Kondition eines linearen Gleichungssystems zu beurteilen?

Accepted Answer

Die Konditionszahl.

Answer

Das Gauß-Jordan-Eliminationsverfahren.

Answer

Die Determinante.

Answer

Cramer's Regel.

Question 44

Welche Aussage über die Sensitivität eines linearen Gleichungssystems ist korrekt?

Accepted Answer

Ein Gleichungssystem ist sensitiv, wenn kleine Änderungen in den Koeffizienten zu großen Änderungen in der Lösung führen.

Answer

Ein Gleichungssystem ist sensitiv, wenn es nur eine Lösung hat.

Answer

Ein Gleichungssystem ist sensitiv, wenn es unendlich viele Lösungen hat.

Question 45

Ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten hat immer...

Accepted Answer

keine, eine oder unendlich viele Lösungen.

Answer

genau eine Lösung.

Answer

immer unendlich viele Lösungen.

Answer

genau drei Lösungen.

Question 46

Die Determinante einer Matrix ist Null. Was lässt sich über das zugehörige lineare Gleichungssystem aussagen?

Accepted Answer

Das System ist nicht eindeutig lösbar.

Answer

Das System ist nicht lösbar.

Answer

Das System hat genau eine Lösung.

Answer

Das System hat unendlich viele Lösungen.

Question 47

Welcher der folgenden Fehler ist KEIN typischer Fehler bei der numerischen Lösung linearer Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Rundungsfehler bei der Berechnung der Determinante.

Answer

Auslöschung bei der Subtraktion nahezu gleich großer Zahlen.

Answer

Fehlerfortpflanzung durch iterative Verfahren.

Answer

Rundungsfehler bei der Gleitkommaarithmetik.

Question 48

Welche Aussage zur Pivotstrategie beim Gaußschen Eliminationsverfahren ist korrekt?

Accepted Answer

Die Wahl des Pivotelements kann die numerische Stabilität des Verfahrens beeinflussen.

Answer

Die Pivotstrategie ist nur für bestimmte Arten von linearen Gleichungssystemen relevant.

Answer

Als Pivotelement sollte immer die erste Zahl in der aktuellen Zeile gewählt werden.

Answer

Die Pivotstrategie hat keinen Einfluss auf die Genauigkeit der Lösung.

Question 49

Bei der Anwendung des Gauß-Seidel-Verfahrens zur Lösung eines linearen Gleichungssystems ist es eine notwendige Voraussetzung, dass...

Accepted Answer

die Spektralnorm der Iterationsmatrix kleiner 1 ist.

Answer

das Gleichungssystem symmetrisch und positiv definit ist.

Answer

die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich Null ist.

Question 50

Was beschreibt die Fehlerfortpflanzung bei der Lösung linearer Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Die Auswirkungen von Fehlern in den Eingabedaten auf die Genauigkeit der Lösung.

Answer

Die Anzahl der benötigten Iterationsschritte bei iterativen Verfahren.

Answer

Die Konditionszahl der Koeffizientenmatrix.

Question 51

Für welche Art von linearen Gleichungssystemen ist das Additions-Subtraktions-Verfahren nicht anwendbar?

Accepted Answer

Gleichungssysteme mit drei Variablen

Answer

Gleichungssysteme mit zwei Variablen

Answer

Gleichungssysteme mit fünf Variablen

Answer

Gleichungssysteme mit vier Variablen

Question 52

Welche Aussage zur Cramer'schen Regel ist korrekt?

Accepted Answer

Wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix Null ist, besitzt das Gleichungssystem keine eindeutige Lösung.

Answer

Die Cramer'sche Regel ist nur für Gleichungssysteme mit zwei Variablen anwendbar.

Question 53

Welche der folgenden Matrizen ist nicht diagonaldominant?

Accepted Answer

[egin{matrix} 1 & 2 \ -1 & -1 end{matrix}]

Answer

[egin{matrix} 3 & 1 \ 2 & 4 end{matrix}]

Answer

[egin{matrix} -4 & 3 \ 7 & -5 end{matrix}]

Answer

[egin{matrix} 5 & -2 \ 1 & 6 end{matrix}]

Question 54

Welche der folgenden Methoden zur Lösung linearer Gleichungssysteme ist garantiert konvergent?

Accepted Answer

Gauß-Jordan-Elimination

Answer

Jacobi-Iteration

Answer

SOR-Iteration

Answer

Bikonjugatgradientenverfahren

Question 55

Gegeben sei das Gleichungssystem
x + 2y - z = 1
2x - y + z = 2
-x + y - 2z = -1
Bestimmen Sie die erweiterte Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems.

Accepted Answer

[egin{matrix} 1 & 2 & -1 & 1 \ 2 & -1 & 1 & 2 \ -1 & 1 & -2 & -1 end{matrix}]

Answer

[egin{matrix} 1 & 2 \ 2 & -1 \ -1 & 1 end{matrix}]

Answer

[egin{matrix} 1 & 2 & 1 \ 2 & -1 & 2 \ -1 & 1 & -1 end{matrix}]

Question 56

Welcher der folgenden Aussagen beschreibt die Gauß-Jordan-Elimination am treffendsten?

Accepted Answer

Ein Verfahren zur Umformung eines linearen Gleichungssystems in eine Zeilenstufenform, aus der die Lösung direkt abgelesen werden kann.

Answer

Ein Verfahren zur Berechnung der Determinante einer Matrix.

Question 57

Ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 4 Variablen hat...

Accepted Answer

unendlich viele Lösungen oder keine Lösung.

Answer

mindestens eine Lösung.

Answer

genau eine Lösung.

Answer

höchstens drei Lösungen.

Question 58

Welche der folgenden Methoden ist NICHT für die Fehlerabschätzung bei der Lösung linearer Gleichungssysteme geeignet?

Accepted Answer

Die Newton-Raphson-Methode.

Answer

Die Normen von Matrizen.

Answer

Die Rückwärtsschätzung.

Answer

Die Konditionszahl.

Question 59

Ein lineares Gleichungssystem mit einer singulären Koeffizientenmatrix ...

Accepted Answer

hat keine eindeutige Lösung.

Answer

hat immer genau eine Lösung.

Answer

hat keine Lösung.

Answer

hat unendlich viele Lösungen.

Question 60

Welche der folgenden Aussagen ist FALSCH in Bezug auf die Konditionszahl einer Matrix?

Accepted Answer

Eine große Konditionszahl bedeutet, dass das System gut konditioniert ist.

Answer

Die Konditionszahl ist ein Maß für die Empfindlichkeit des Systems gegenüber kleinen Änderungen in den Eingabedaten.

Answer

Eine kleine Konditionszahl bedeutet, dass das System robust gegen Störungen ist.

Question 61

Ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Variablen hat ...

Accepted Answer

genau eine Lösung, unendlich viele Lösungen oder keine Lösung.

Answer

unendlich viele Lösungen.

Answer

genau eine Lösung.

Question 62

Die Rückwärtsschätzung bei der Fehlerabschätzung von linearen Gleichungssystemen ...

Accepted Answer

schätzt den Fehler ab, der bei der Berechnung der Lösung auftritt.

Answer

schätzt den Fehler ab, der in den Eingabedaten vorhanden ist.

Answer

bestimmt die Konditionszahl der Matrix.

Question 63

Welche der folgenden Aussagen ist FALSCH in Bezug auf die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems?

Accepted Answer

Ein lineares Gleichungssystem ist immer lösbar, wenn die Anzahl der Gleichungen gleich der Anzahl der Variablen ist.

Answer

Ein lineares Gleichungssystem kann unendlich viele Lösungen haben.