Lineare Algebra: Vektoren und Matrizen - Online-Quiz und Übungen

Question 1

Welches Matrizenpaar ist linear unabhängig?

Accepted Answer

C = $ egin{pmatrix} 1 & 0  0 & 1 end{pmatrix}$ und D = $ egin{pmatrix} 0 & 1  1 & 0 end{pmatrix}$

Answer

A = $ egin{pmatrix} 1 & 2  3 & 4 end{pmatrix}$ und B = $ egin{pmatrix} 2 & 4  6 & 8 end{pmatrix}$

Answer

E = $ egin{pmatrix} 1 & 1  2 & 2 end{pmatrix}$ und F = $ egin{pmatrix} 2 & 2  4 & 4 end{pmatrix}$

Answer

G = $ egin{pmatrix} 1 & 2  3 & 5 end{pmatrix}$ und H = $ egin{pmatrix} 2 & 4  6 & 10 end{pmatrix}$

Question 2

Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem mithilfe der Cramerschen Regel:

3x + 2y = 5
2x + 3y = 7

Accepted Answer

x = 1, y = 1

Answer

x = 2, y = 2

Answer

x = 0, y = 1

Question 3

Die Komponenten eines Vektors im dreidimensionalen Raum sind (2, -1, 3). Berechne seine Länge.

Accepted Answer

√14

Answer

2

Answer

3

Answer

4

Question 4

Welche der folgenden Transformationen ist eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Question 5

Welcher der folgenden Vektoren ist ein normierter Vektor mit einer Länge von 1?

Accepted Answer

v = (1/√2, 1/√2)

Answer

v = (-1, 1)

Answer

v = (0, 1)

Answer

v = (2, 3)

Question 6

Welche der folgenden Matrizen ist die 2x2-Einheitsmatrix?

Accepted Answer

E = [[1, 0], [0, 1]]

Answer

B = [[1, -1], [-1, 1]]

Answer

A = [[0, 1], [1, 0]]

Answer

C = [[2, 0], [0, 2]]

Question 7

Welcher der folgenden Vektoren ist ein Eigenvektor der Matrix A = [[2, -1], [1, 2]] mit einem dazugehörigen Eigenwert von λ = 3?

Accepted Answer

v = (1, 1)

Answer

v = (0, -1)

Answer

v = (0, 1)

Answer

v = (1, -1)

Question 8

Berechne den Eigenwert des Eigenvektors v = (2, 1) für die Matrix A = [[3, 2], [-1, 1]]

Accepted Answer

5

Answer

-3

Answer

3

Question 9

Welche der folgenden Operationen ist bei Matrizen sowohl kommutativ als auch assoziativ?

Accepted Answer

Addition

Answer

Multiplikation

Answer

Transposition

Answer

Potenzierung

Question 10

Welche der folgenden Aussagen zu Matrixmultiplikation ist korrekt?

Accepted Answer

Die Anzahl der Spalten der ersten Matrix muss mit der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix übereinstimmen.

Answer

Das Ergebnis ist immer eine quadratische Matrix.

Answer

Die Operation ist kommutativ.

Question 11

Welcher der folgenden Ausdrücke ist ein Vektor im dreidimensionalen Raum?

Accepted Answer

(1, 2, 3)

Answer

x^2 + y^2

Answer

1 + 2i

Answer

(1, 2)

Question 12

Welche der folgenden Matrizen ist die Einheitsmatrix?

Accepted Answer

⎝⎜⎜⎜⎜100010001⎞⎟⎟⎟⎟

Answer

⎝⎜⎜⎜⎜1001000⎞⎟⎟⎟⎟

Answer

⎝⎜⎜⎜⎜1010001⎞⎟⎟⎟⎟

Answer

⎝⎜⎜⎜⎜0110100⎞⎟⎟⎟⎟

Question 13

Welcher der folgenden Ausdrücke ist ein Skalarprodukt zweier Vektoren?

Accepted Answer

(1, 2, 3)⋅(4, 5, 6)

Answer

(1, 2, 3)+(4, 5, 6)

Answer

(1, 2, 3)×(4, 5, 6)

Answer

||(1, 2, 3)||+||(4, 5, 6)||

Question 14

Welcher der folgenden Ausdrücke ist ein linearer Operator?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 15

Welche Aussage über Vektoren trifft zu?

Accepted Answer

Vektoren können addiert und miteinander multipliziert werden.

Answer

Vektoren sind immer parallel zueinander.

Answer

Vektoren haben immer nur eine Länge.

Question 16

Welche der folgenden Matrizen ist die Einheitsmatrix?

Accepted Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[0, 0], [0, 0]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Question 17

Welche Gleichung beschreibt ein lineares Gleichungssystem?

Accepted Answer

2x + 3y = 6

Answer

x^2 + y^2 = 1

Answer

sin(x) + cos(y) = 0

Answer

e^x - y = 1

Question 18

Welche der folgenden Matrizen ist die Einheitsmatrix in der Dimension 2x2?

Accepted Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[1, 1], [1, 1]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Answer

[[2, 0], [0, 2]]

Question 19

Berechnen Sie die Determinante der Matrix A = [[2, 1], [3, 4]]

Accepted Answer

5

Answer

2

Answer

10

Answer

-5

Question 20

Berechnen Sie den Eigenwert der Matrix A = [[3, 2], [-2, 3]]

Accepted Answer

5

Answer

1

Answer

-5

Question 21

Welche der folgenden Ausdrücke stellt einen Vektor im dreidimensionalen Raum dar?

Accepted Answer

[2, 3, -1]

Answer

[2, 3]

Answer

2

Answer

x² + y²

Question 22

Welches der folgenden Gleichungssysteme ist nicht lösbar (inkonsistent)?

Accepted Answer

x + y = 3, x + y = 5

Answer

3x + 2y = 6, 6x + 4y = 12

Answer

x + y = 2, 2x + 2y = 4

Answer

x - y = 1, 2x - 2y = 2

Question 23

Welche der folgenden Aussagen über lineare Abbildungen ist zutreffend?

Accepted Answer

Sie lassen sich vollständig durch ihre Matrixdarstellung charakterisieren.

Answer

Sie sind immer injektiv.

Answer

Sie sind immer surjektiv.

Question 24

Welche der folgenden Transformationen ist eine lineare Abbildung? Eine lineare Abbildung erfüllt die Eigenschaften der Homogenität und Additivität.

Accepted Answer

f(x) = Ax + b, wobei A eine Matrix und b ein Vektor ist

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Question 25

Welche der folgenden Operationen ist **nicht** für Vektoren definiert?

Accepted Answer

Division

Answer

Skalarmultiplikation

Answer

Addition

Answer

Subtraktion

Question 26

Gegeben seien die Vektoren a = (2, 1) und b = (-1, 3). Was ist der Betrag des Vektors a + b?

Accepted Answer

√10

Answer

√5

Answer

√2

Question 27

Welche der folgenden Matrizen ist die Einheitsmatrix der Ordnung 2?

Accepted Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[1, 1], [0, 0]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Answer

[[0, 0], [1, 1]]

Question 28

Gegeben seien die Matrizen A = [[2, 1], [3, 4]] und B = [[1, 0], [2, 1]]. Was ist das Ergebnis von A * B?

Accepted Answer

[[4, 1], [11, 4]]

Answer

[[2, 1], [5, 5]]

Answer

[[3, 1], [5, 4]]

Answer

[[2, 0], [6, 4]]

Question 29

Welches lineare Gleichungssystem wird durch die erweiterte Koeffizientenmatrix [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]] dargestellt?

Accepted Answer

x + 2y + 3z = 0
4x + 5y + 6z = 0
7x + 8y + 9z = 0

Answer

x + 4y + 7z = 0
2x + 5y + 8z = 0
3x + 6y + 9z = 0

Answer

x + 2y = 3
4x + 5y = 6
7x + 8y = 9

Answer

x + 2y + 3z = 1
4x + 5y + 6z = 2
7x + 8y + 9z = 3

Question 30

Welche der folgenden Aussagen über die Determinante einer Matrix ist **falsch**?

Accepted Answer

Die Determinante einer Matrix ist immer positiv.

Answer

Die Determinante einer Matrix kann Null sein.

Answer

Die Determinante einer Matrix ist nur für quadratische Matrizen definiert.

Answer

Die Determinante einer Matrix ist eine Zahl.

Question 31

Welcher Eigenwert gehört zum Eigenvektor v = (1, 1) der Matrix A = [[2, 1], [1, 2]]?

Accepted Answer

3

Answer

4

Answer

2

Answer

1

Question 32

Welche der folgenden Aussagen über ein lineares Gleichungssystem mit mehr Gleichungen als Variablen ist **wahr**?

Accepted Answer

Das System kann keine Lösung, genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen haben.

Answer

Das System hat immer keine Lösung.

Answer

Das System hat immer genau eine Lösung.

Question 33

Welche der folgenden Operationen verändert die Determinante einer Matrix **nicht**?

Accepted Answer

Vertauschen zweier Zeilen.

Answer

Multiplizieren einer Zeile mit einer Konstanten.

Answer

Addieren eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.

Answer

Vertauschen zweier Spalten.

Question 34

Welche der folgenden Anwendungen ist **keine** Anwendung der linearen Algebra?

Accepted Answer

Wettervorhersage

Answer

Kryptographie

Answer

Maschinelles Lernen

Answer

Computergrafik