Differentialrechnung lernen: Online-Quizze und Übungen für die Qualifikationsphase 2

Question 1

Welche Aussage zur Kurve y = x⁴ - 2x² trifft zu?

Accepted Answer

Wendepunkt bei x = 0

Answer

Sattelpunkt bei x = 0

Answer

Hoch- und Tiefpunkt bei x = 0

Answer

Keine Wendepunkte

Question 2

Ermittle die Tangentengleichung an den Graphen von f(x) = e^x - 1 im Punkt (0,0).

Accepted Answer

y = x

Answer

y = x - 1

Answer

y = x + 1

Answer

y = 0

Question 3

Bestimme die Ableitung der Funktion f(x) = sin(x) und zeige mithilfe eines Grenzwertübergangs, dass das Ergebnis cos(x) ist.

Accepted Answer

cos(x)

Answer

-sin(x)

Answer

sin(x)

Question 4

Welche der folgenden Funktionen ist nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x³

Answer

f(x) = e^x

Question 5

Bestimme den Grenzwert von f(x) = (e^x - 1 - x) / (e^x - x - 1) für x gegen 0.

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

-1

Answer

Unendlich

Question 6

Wie lautet die erste Ableitung von f(x) = 1 / (x + 1)?

Accepted Answer

-1 / (x + 1)^2

Answer

1 / (x + 1)^2

Answer

(x + 1) / -1

Answer

(x + 1) / 1

Question 7

Welche der Funktionen ist nach unten konkav?

Accepted Answer

f(x) = -x^4 + 4x^2 - 5

Answer

f(x) = x^3 - 3x^2 + 2

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 8

Bestimme die Ableitung der Funktion f(x) = x³ - 2x² + 1.

Accepted Answer

f'(x) = 3x² - 4x

Answer

f'(x) = x³ - 4x

Answer

f'(x) = 3x² + 4x

Answer

f'(x) = x³ - 4x + 1

Question 9

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = sin(2x).

Accepted Answer

f'(x) = 2cos(2x)

Answer

f'(x) = 2sin(2x)

Answer

f'(x) = cos(2x)

Answer

f'(x) = sin(x)

Question 10

Welche der folgenden Funktionen besitzt einen Wendepunkt bei x = 0?

Accepted Answer

f(x) = x³ + x

Answer

f(x) = x³

Answer

f(x) = x⁴

Answer

f(x) = x⁴ + x²

Question 11

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = eˣ.

Accepted Answer

f'(x) = eˣ

Answer

f'(x) = x * eˣ

Answer

f'(x) = e

Answer

f'(x) = 1

Question 12

Bestimme die erste Ableitung der Funktion f(x) = ln(x²).

Accepted Answer

f'(x) = 1 / (2x)

Answer

f'(x) = 2 / x

Answer

f'(x) = 1 / x

Answer

f'(x) = 2 / (x²)

Question 13

Bestimme die Ableitung der Funktion f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 1.

Accepted Answer

f'(x) = 3x^2 - 4x + 5

Answer

f'(x) = 3x^2 + 4x + 5

Answer

f'(x) = x^3 - 4x^2 + 5x

Answer

f'(x) = 3x^2 + 2x + 5

Question 14

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = ln(x^2 + 1).

Accepted Answer

f'(x) = 2x / (x^2 + 1)

Answer

f'(x) = 1 / (x^2 + 1)

Answer

f'(x) = 2x

Answer

f'(x) = x / (x^2 + 1)

Question 15

Die Tangente an die Funktion f(x) = e^x im Punkt (0, 1) hat die Gleichung:

Accepted Answer

y = x + 1

Answer

y = e^x

Answer

y = x

Answer

y = 1

Question 16

Welcher der folgenden Ausdrücke stellt die zweite Ableitung der Funktion f(x) = sin(x) dar?

Accepted Answer

f''(x) = -cos(x)

Answer

f''(x) = -sin(x)

Answer

f''(x) = cos(x)

Answer

f''(x) = sin(x)

Question 17

Die Funktion f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1 hat im Intervall [1, 3]:

Accepted Answer

ein lokales Minimum

Answer

ein globales Minimum

Answer

ein globales Maximum

Answer

kein Extremum

Question 18

Welcher der folgenden Integrale ist gleich dem Flächeninhalt unter der Kurve f(x) = x^2 zwischen x = 0 und x = 2?

Accepted Answer

∫[0,2] x^2 dx

Answer

∫[2,0] x^2 dx

Answer

∫[0,2] x dx

Answer

∫[2,0] x dx

Question 19

Die Ableitung der Funktion f(x) = |x| ist:

Accepted Answer

f'(x) = x, wenn x >= 0 und f'(x) = -x, wenn x < 0

Answer

f'(x) = 1, wenn x >= 0 und f'(x) = -1, wenn x < 0

Answer

f'(x) ist nicht definiert an der Stelle x = 0

Answer

f'(x) = x für alle x

Question 20

Der Grenzwert einer Funktion existiert, wenn

Accepted Answer

sie sich bei Annäherung von links und rechts an einen Punkt dem gleichen Wert nähert.

Answer

sie unendlich wird.

Answer

sie mehrere Werte annimmt.

Answer

sie unabhängig von der Annäherung ist.

Question 21

Die Ableitung der Potenzfunktion f(x) = x^n ist

Accepted Answer

f'(x) = nx^(n-1)

Answer

f'(x) = x^(n-1)

Answer

f'(x) = n

Answer

f'(x) = 1/n*x^(n-1)

Question 22

Der Wendepunkt der Funktion f(x) = x^3 - 3x^2 ist

Accepted Answer

(1,-2)

Answer

(0,0)

Answer

(2,0)

Answer

(-2,1)

Question 23

Die vertikale Asymptote der Funktion f(x) = 1/(x-2) liegt bei

Accepted Answer

x=2

Answer

x=0

Answer

y=0

Answer

x=1

Question 24

Die Ursprungsfunktion der Ableitung f'(x) = sin(x) ist

Accepted Answer

f(x) = sin(x) + C

Answer

f(x) = -cos(x)

Answer

f(x) = cos(x) + C

Answer

f(x) = -sin(x) + C

Question 25

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = x^2 - 3x + 2.

Accepted Answer

f'(x) = 2x - 3

Answer

f'(x) = x^2 - 3

Answer

f'(x) = x - 3

Answer

f'(x) = 3x - 2

Question 26

Sei f(x) = |x|. Welcher der folgenden Ausdrücke ist die Ableitung von f(x) für x > 0?

Accepted Answer

f'(x) = 1

Answer

f'(x) = -1

Answer

f'(x) = x

Answer

f'(x) ist nicht definiert

Question 27

Welche der folgenden Funktionen ist konkav nach unten?

Accepted Answer

f(x) = -x^2

Answer

f(x) = x^3

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 28

Welcher der folgenden Ausdrücke ist die Stammfunktion von f(x) = cos(x)?

Accepted Answer

F(x) = sin(x)

Answer

F(x) = -sin(x)

Answer

F(x) = cos(x)

Answer

F(x) = -cos(x)

Question 29

Welche der folgenden Grenzwerte existiert **nicht**?

Accepted Answer

lim (x -> 0) 1 / x

Answer

lim (x -> 0) sin(x) / x

Answer

lim (x -> 0) e^x

Answer

lim (x -> ∞) 1 / (x^2 + 1)

Question 30

Welches der folgenden Integrale ist gleich dem Flächeninhalt unter der Kurve f(x) = x^2 im Intervall [0, 2]?

Accepted Answer

∫[0, 2] x^2 dx

Answer

∫[0, 2] x dx

Answer

∫[2, 0] x^2 dx

Answer

∫[0, 2] (x^2 + 1) dx

Question 31

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung?

Accepted Answer

y' + y = x

Answer

y' = yx

Answer

y'' + y' + y = 0

Answer

y' = y^2

Question 32

Gib die Ableitung der Funktion f(x) = x³ + 2x an.

Accepted Answer

3x² + 2

Answer

3x + 2

Answer

x² + 2

Answer

4x

Question 33

Welche Aussage über die Funktion f(x) = 1/x gilt?

Accepted Answer

Die Funktion besitzt eine vertikale Asymptote bei x = 0.

Answer

Die Funktion besitzt eine horizontale Asymptote bei y = 0.

Answer

Die Funktion besitzt keine Asymptoten.

Question 34

Welche Aussage über die Funktion f(x) = e^x zutrifft?

Accepted Answer

Die Funktion ist streng monoton wachsend.

Answer

Die Funktion besitzt einen Wendepunkt.

Answer

Die Funktion besitzt ein Minimum.

Answer

Die Funktion besitzt ein Maximum.

Question 35

Welche Aussage über die Funktion f(x) = ln(x) richtig ist?

Accepted Answer

Die Funktion besitzt eine horizontale Asymptote bei y = 0.

Answer

Die Funktion besitzt eine vertikale Asymptote bei x = 1.

Answer

Die Funktion besitzt ein Maximum bei x = 1.

Question 36

Welche Aussage über Grenzwerte ist richtig?

Accepted Answer

Ein Grenzwert beschreibt das Verhalten einer Funktion, wenn sich ihre Eingangsgröße einem bestimmten festen Wert beliebig stark annähert.

Answer

Ein Grenzwert ist stets eine reelle Zahl.

Question 37

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = x³ + 2x² - 4x + 5.

Accepted Answer

f'(x) = 3x² + 4x - 4

Answer

f'(x) = 2x³ - 4x² - 4

Answer

f'(x) = x³ + 4x² - 8x + 5

Question 38

Welche Aussage über die Steigung einer Tangente ist korrekt?

Accepted Answer

Die Steigung der Tangente an einem Punkt einer Funktion entspricht dem Wert ihrer Ableitung an diesem Punkt.

Answer

Die Steigung der Tangente ist gleich der Krümmung der Funktion.

Answer

Die Steigung der Tangente ist immer positiv.

Question 39

Welche Funktion ist nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x³ - 2x² + 5

Question 40

Wie lautet die Ableitung der Umkehrfunktion von f(x) = x² - 1?

Accepted Answer

f'(x)^(-1) = 1 / (2√(x-1))

Answer

f'(x)^(-1) = 2x

Answer

f'(x)^(-1) = x² - 1

Question 41

Welche Gleichung ist die Differenzialgleichung, die die Funktion f(x) = e^x beschreibt?

Accepted Answer

f'(x) = f(x)

Answer

f'(x) = f(x)²

Answer

f'(x) = e^x

Question 42

Welche Aussage über die zweite Ableitung ist richtig?

Accepted Answer

Die zweite Ableitung liefert Informationen über die Krümmung einer Funktion.

Answer

Die zweite Ableitung ist immer positiv.

Answer

Die zweite Ableitung ist gleich der Steigung der Tangente.

Question 43

Bestimme die Ableitung der Funktion f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1.

Accepted Answer

3x^2 + 4x - 5

Answer

3x^3 + 2x^2

Answer

x^2 + 4x

Answer

x^3 - 2x^2 + 5x

Question 44

Welche der folgenden Funktionen hat eine positive erste Ableitung für alle x?

Accepted Answer

f(x) = x^2 + 1

Answer

f(x) = (x - 1)^3

Answer

f(x) = -x^2

Question 45

Welche der folgenden Aussagen ist wahr für die Funktion f(x) = 1 / x?

Accepted Answer

Sie hat eine vertikale Asymptote bei x = 0.

Answer

Sie hat eine schräge Asymptote bei y = 0.

Answer

Sie hat keine Asymptoten.

Answer

Sie hat eine horizontale Asymptote bei y = 1.

Question 46

Welche der folgenden Funktionen ist konkav nach unten?

Accepted Answer

f(x) = -x^3

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x^2

Question 47

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = x³ + 2x² - 5.

Accepted Answer

3x² + 4x

Answer

x³ - 4x

Answer

x² + 4x

Answer

3x² - 4x

Question 48

Bestimme den Grenzwert von (x² - 4) / (x - 2) für x → 2.

Accepted Answer

4

Answer

0

Answer

unendlich

Answer

-4

Question 49

Welche der folgenden Funktionen ist nicht differenzierbar an der Stelle x = 0?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x²

Question 50

Welcher der folgenden Sätze beschreibt die Aussage des Zwischenwertsatzes?

Accepted Answer

Wenn eine Funktion f(x) auf einem Intervall [a, b] stetig ist und die Werte f(a) und f(b) entgegengesetztes Vorzeichen haben, dann existiert mindestens eine Stelle c im Intervall (a, b), an der f(c) = 0 ist.

Answer

Wenn eine Funktion f(x) auf einem Intervall [a, b] stetig ist, dann existiert mindestens eine Stelle c im Intervall (a, b), an der f(c) = max(f(a), f(b)) ist.

Question 51

Welche Aussage beschreibt korrekt die Ableitung der Funktion f(x) = x³ + 2x² - 5?

Accepted Answer

f'(x) = 3x² + 4x

Answer

f'(x) = x³ + 4

Answer

f'(x) = 3x - 4

Answer

f'(x) = x² + 4x - 5

Question 52

Bestimme den Grenzwert von (x² - 4) / (x - 2) für x → 2.

Accepted Answer

4

Answer

undefiniert

Answer

0

Answer

2

Question 53

Welche Funktion hat die Ableitung f'(x) = 2x + 1?

Accepted Answer

f(x) = x² + x + C

Answer

f(x) = 2x + C

Answer

f(x) = x³ + x + C

Answer

f(x) = x - 1 + C

Question 54

Welche Aussage zur Funktion f(x) = sin(x) ist falsch?

Accepted Answer

f(x) ist eine lineare Funktion.

Answer

f(x) ist eine periodische Funktion.

Answer

Die Amplitude von f(x) ist 1.

Answer

f'(x) = cos(x)

Question 55

Welche Funktion ist monoton fallend?

Accepted Answer

f(x) = -x³ + 2x²

Answer

f(x) = x³ - 2x²

Answer

f(x) = -x⁴ + 2x²

Answer

f(x) = x⁴ + 2x²

Question 56

Bestimme den Grenzwert von f(x) = (x² - 1) / (x - 1) für x gegen 1.

Accepted Answer

2

Answer

0

Answer

1

Answer

unendlich

Question 57

Die Ableitung der Funktion f(x) = x³ - 2x² + 1 lautet:

Accepted Answer

3x² - 4x

Answer

3x² + 4x

Answer

x³ - 4x

Answer

x³ - 4

Question 58

An welcher Stelle hat die Funktion f(x) = x³ + x² - 2x + 1 ein lokales Maximum?

Accepted Answer

x = -1/3

Answer

x = 2

Answer

x = 1

Answer

x = 0

Question 59

Die Tangente an die Funktion f(x) = e^x im Punkt (0, 1) lautet:

Accepted Answer

y = x + 1

Answer

y = e^x

Answer

y = 2x

Answer

y = 1

Question 60

Welche Aussage zur Funktion f(x) = x/(x-1) ist korrekt?

Accepted Answer

Die Funktion hat eine vertikale Asymptote bei x = 1.

Answer

Die Funktion hat eine horizontale Asymptote bei y = 0.

Answer

Die Funktion ist an der Stelle x = 1 stetig.

Answer

Die Funktion hat keine Asymptoten.

Question 61

Die Ableitung der Funktion f(x) = ln(x²) + e^(2x) beträgt:

Accepted Answer

2/x + 2e^(2x)

Answer

2x/ln(x) + 2e^(2x)

Answer

ln(x) + 2e^(2x)

Answer

2ln(x) + e^(2x)

Question 62

Die Fläche unter dem Graphen der Funktion f(x) = x² zwischen x = 0 und x = 2 beträgt:

Accepted Answer

8/3

Answer

2

Answer

4

Answer

16/3

Question 63

Welche der folgenden Aussagen trifft auf die Ableitung einer Funktion f(x) zu?

Accepted Answer

Die Ableitung gibt die Steigung der Tangente an den Graphen von f(x) an einem bestimmten Punkt an.

Answer

Die Ableitung gibt die Länge des Graphen von f(x) an.

Answer

Die Ableitung gibt die Fläche unter dem Graphen von f(x) an.

Question 64

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = 3x² + 2x - 1.

Accepted Answer

f'(x) = 6x + 2

Answer

f'(x) = 6x² + 2x

Answer

f'(x) = 3x + 2

Answer

f'(x) = 9x² + 2