Analytische Geometrie lernen: Vektoren, Geraden, Ebenen, Kegelschnitte

Question 1

Was ist die geometrische Bedeutung des Abstands eines Punktes P zur Geraden g?

Accepted Answer

Die Länge der kürzesten Verbindungsstrecke zwischen P und g

Answer

Die Länge des kürzesten Weges von P nach g

Answer

Der Abstand zwischen P und einem beliebigen Punkt Q auf g

Answer

Die Länge der Projektion von P auf g

Question 2

Welches Kriterium ist notwendig und hinreichend, damit ein Gleichungssystem mit Vektoren lösbar ist?

Accepted Answer

Der Rang der Koeffizientenmatrix entspricht der Anzahl der Unbekannten.

Answer

Die Anzahl der Gleichungen entspricht der Anzahl der Unbekannten.

Answer

Die Determinante der Koeffizientenmatrix ist ungleich Null.

Question 3

Entscheide, ob die Gerade g mit der Gleichung x - 2y + 3 = 0 und die Ebene E mit der Gleichung 2x + y - z = 5 senkrecht zueinander stehen.

Accepted Answer

Ja, g und E sind senkrecht.

Answer

Nein, g und E sind parallel.

Answer

Nein, g und E schneiden sich.

Answer

Die gegebenen Informationen reichen nicht aus, um eine Aussage zu treffen.

Question 4

Was ist das Kreuzprodukt zweier Vektoren? Erläutere, wie es zur Bestimmung von Normalenvektoren von Ebenen verwendet wird.

Accepted Answer

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren a und b ist ein Vektor c, der senkrecht zu a und b steht und dessen Betrag gleich der Fläche des von a und b aufgespannten Parallelogramms ist.

Answer

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren a und b ist ein Skalarwert, der dem Produkt der Beträge von a und b entspricht.

Answer

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren a und b kann verwendet werden, um den Abstand zwischen den Punkten a und b zu berechnen.

Answer

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren a und b ist immer ein Einheitsvektor.

Question 5

Bestimme die Gleichung der Tangentialebene an die Oberfläche mit der Gleichung $$z = x^2 + y^2$$ im Punkt P(1, 1, 2).

Accepted Answer

$$ z = x + y - 1 $$.

Answer

$$ z = 2 $$

Answer

$$ z = x^2 + y^2 $$.

Answer

$$ z = y - x + 1 $$.

Question 6

Welche drei Dimensionen beschreiben den dreidimensionalen Raum in der analytischen Geometrie?

Accepted Answer

x, y, z

Answer

x, y

Answer

r, θ, z

Answer

α, β, γ

Question 7

Welche der folgenden Aussagen über Vektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Vektoren sind gerichtete Strecken.

Answer

Vektoren sind eindimensionale geometrische Körper.

Answer

Vektoren sind zweidimensionale geometrische Körper.

Answer

Vektoren sind Kurven dritten Grades.

Question 8

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt die Gerade durch den Punkt (2, 3) mit der Steigung 1?

Accepted Answer

y = x + 1

Answer

y = x - 1

Answer

y = 2x - 1

Answer

y = -x + 5

Question 9

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Ebene, die senkrecht zur z-Achse steht und den Punkt (1, 2, 3) enthält?

Accepted Answer

z = 1

Answer

z = 2

Answer

z = 3

Answer

x + y = 6

Question 10

Welche der folgenden Kurven ist ein Kegelschnitt?

Accepted Answer

x^2 + y^2 = 9

Answer

x^3 + y^3 = 9

Answer

xy = 9

Answer

y = x^2 + 1

Question 11

Welcher der folgenden Vektoren ist ein Einheitsvektor?

Accepted Answer

(1, 0, 0)

Answer

(2, 3, 0)

Answer

(1, 1, 1)

Answer

(-1, 0, 1)

Question 12

Welche der folgenden Aussagen über das Skalarprodukt zweier Vektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Das Skalarprodukt ist gleich dem Produkt der Beträge der beiden Vektoren multipliziert mit dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen.

Answer

Das Skalarprodukt ist eine Zahl.

Answer

Das Skalarprodukt ist immer positiv.

Answer

Das Skalarprodukt ist gleich dem Betrag der Summe der beiden Vektoren.

Question 13

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Parabel?

Accepted Answer

y = x^2

Answer

y = x^3

Answer

y = x^4

Answer

y = x^5 + 1

Question 14

Was beschreibt einen Vektor am besten?

Accepted Answer

Eine gerichtete Strecke mit Länge und Richtung

Answer

Eine Strecke mit festgelegten Endpunkten

Answer

Ein Kreis mit gegebenem Radius

Answer

Eine unendlich lange Gerade

Question 15

Welche Koordinaten hat der Punkt, an dem die Gerade y = 2x + 1 die x-Achse schneidet?

Accepted Answer

(0; 1)

Answer

(0; 5)

Answer

(1; 5)

Answer

(-1; 2)

Question 16

Welche Gleichung beschreibt eine Ebene?

Accepted Answer

ax + by + cz + d = 0

Answer

y = mx + b

Answer

x² + y² + z² = r²

Answer

xy = k

Question 17

Welcher Kegelschnitt wird durch die Gleichung x² + 4y² = 16 dargestellt?

Accepted Answer

Ellipse

Answer

Parabel

Answer

Hyperbel

Answer

Kreis

Question 18

Welches der folgenden Vektorprodukte ist gleich Null?

Accepted Answer

a x a

Answer

(a x b) x c

Answer

a x b

Answer

a x (b x c)

Question 19

Welche Aussage zur Determinante einer Matrix ist richtig?

Accepted Answer

Sie ist gleich dem Volumen des von den Spaltenvektoren aufgespannten Parallelepipeds.

Answer

Sie ist immer positiv.

Answer

Sie ist die Summe der Diagonalelemente.

Question 20

Welche der folgenden Funktionen ist nicht differenzierbar?

Accepted Answer

|x|

Answer

x³

Answer

sin(x)

Answer

e^x

Question 21

Was beschreibt die Steigung einer Funktion?

Accepted Answer

Die Änderungsrate der Funktion in einem Punkt

Answer

Sie ist gleich der zweiten Ableitung der Funktion.

Answer

Sie ist immer positiv.

Question 22

Welche Funktion ist die Stammfunktion von x²?

Accepted Answer

(x³/3) + C

Answer

x + C

Answer

(x/2) + C

Answer

2x + C

Question 23

Gegeben sind die Punkte A(1,2) und B(3,4). Berechne den Vektor $\overrightarrow{AB}$.

Accepted Answer

$\begin{pmatrix} 2 \ 2 \end{pmatrix}$

Answer

$\begin{pmatrix} 1 \ 2 \end{pmatrix}$

Answer

$\begin{pmatrix} 4 \ 6 \end{pmatrix}$

Answer

$\begin{pmatrix} -2 \ -2 \end{pmatrix}$

Question 24

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Ebene, die durch die Punkte A(1,0,0), B(0,1,0) und C(0,0,1) verläuft?

Accepted Answer

$x + y + z = 1$

Answer

$x - y + z = 1$

Answer

$-x + y + z = 1$

Answer

$x + y - z = 1$

Question 25

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt einen Kreis mit dem Mittelpunkt M(2,3) und dem Radius r = 4?

Accepted Answer

$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 16$

Answer

$(x + 2)^2 + (y + 3)^2 = 16$

Answer

$(x + 2)^2 + (y + 3)^2 = 4$

Answer

$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 4$

Question 26

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Ellipse mit den Brennpunkten F1(-2,0) und F2(2,0) und der großen Halbachse a = 3?

Accepted Answer

$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$

Answer

$\frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{9} = 1$

Answer

$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$

Answer

$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$

Question 27

Gegeben sind die Punkte A(2|1) und B(4|5). Welcher Vektor beschreibt die Verschiebung von A nach B?

Accepted Answer

$\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ 4 \end{pmatrix}$

Answer

$\vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \ -4 \end{pmatrix}$

Answer

$\vec{v} = \begin{pmatrix} 6 \ 6 \end{pmatrix}$

Answer

$\vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \ 4 \end{pmatrix}$

Question 28

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt einen Kreis mit Mittelpunkt M(2|-3) und Radius 5?

Accepted Answer

$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$

Answer

$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 25$

Answer

$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 5$

Answer

$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 5$

Question 29

Bestimmen Sie den Schnittpunkt der beiden Geraden mit den Gleichungen $2x - y = 3$ und $x + 3y = 5$.

Accepted Answer

(2|1)

Answer

(3|-1)

Answer

(1|2)

Answer

(-1|3)

Question 30

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit den Eckpunkten A(1|1), B(4|2) und C(2|5).

Accepted Answer

4.5

Answer

3.5

Answer

4

Answer

5

Question 31

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Gerade in der Ebene?

Accepted Answer

y = 2x + 3

Answer

x³ + y³ = 8

Answer

x² - y² = 1

Answer

x² + y² = 9

Question 32

Zwei Geraden g und h sind parallel, wenn...

Accepted Answer

ihre Richtungsvektoren linear abhängig sind.

Answer

ihre Richtungsvektoren orthogonal zueinander sind.

Answer

sie einen gemeinsamen Punkt haben.

Answer

ihre Normalvektoren orthogonal zueinander sind.

Question 33

Die Gleichung einer Ebene lautet 2x + 3y - z = 5. Welcher der folgenden Vektoren ist ein Normalenvektor dieser Ebene?

Accepted Answer

[2, 3, -1]

Answer

[2, 3, 1]

Answer

[3, -2, 1]

Answer

[1, 2, 3]

Question 34

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Ellipse?

Accepted Answer

(x²/4) + (y²/9) = 1

Answer

x² - y² = 1

Answer

y = x²

Answer

x² + y² = 9

Question 35

Die Brennpunkte einer Hyperbel liegen auf der...

Accepted Answer

Hauptachse

Answer

Symmetrieachse

Answer

Nebenachse

Answer

Leitlinie

Question 36

Welcher Vektor ist ein Normalenvektor der Ebene 2x - 3y + z = 5?

Accepted Answer

$\begin{pmatrix} 2 \ -3 \ 1 \end{pmatrix}$

Answer

$\begin{pmatrix} 5 \ 2 \ -3 \end{pmatrix}$

Answer

$\begin{pmatrix} -2 \ 3 \ -1 \end{pmatrix}$

Answer

$\begin{pmatrix} 2 \ 3 \ 1 \end{pmatrix}$

Question 37

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Ellipse?

Accepted Answer

$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$

Answer

$x^2 - y^2 = 1$

Answer

$y = x^2$

Answer

$x^2 + y^2 = 4$

Question 38

Welcher der folgenden Punkte liegt auf der Parabel y² = 4x?

Accepted Answer

(1, 2)

Answer

(1, 1)

Answer

(0, 0)

Answer

(2, 1)

Question 39

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Hyperbel?

Accepted Answer

$\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1$

Answer

$x^2 + y^2 = 4$

Answer

$y = x^2 - 1$

Answer

$x^2 + y^2 = 1$

Question 40

Wie groß ist der Abstand zwischen den Punkten A(2, 1) und B(5, 4)?

Accepted Answer

5

Answer

6

Answer

3

Answer

4

Question 41

Welcher der folgenden Vektoren steht senkrecht auf der Ebene, die durch die Punkte A(1, 2, 3), B(2, 1, 4) und C(3, 0, 2) definiert ist?

Accepted Answer

(1, 2, -1)

Answer

(2, 1, 3)

Answer

(3, 0, 1)

Answer

(1, -1, 2)

Question 42

Welcher der folgenden Punkte liegt auf der Geraden, die durch die Gleichung x = 1 + 2t, y = 2 + 3t, z = 3 + 4t beschrieben wird?

Accepted Answer

(3, 5, 7)

Answer

(2, 5, 7)

Answer

(3, 2, 3)

Answer

(1, 2, 3)

Question 43

Welche der folgenden Vektoren ist ein Richtungsvektor der Ebene, die durch die Gleichung 2x + 3y - z = 5 beschrieben wird?

Accepted Answer

(-2, 3, 0)

Answer

(0, 0, 5)

Answer

(5, 0, 0)

Answer

(2, 3, -1)

Question 44

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Parabel mit Scheitelpunkt im Ursprung und Brennpunkt bei (0, 2)?

Accepted Answer

y² = 8x

Answer

x² = 8y

Answer

x² = 4y

Answer

y² = 4x

Question 45

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Hyperbel mit Asymptoten y = ± 2x?

Accepted Answer

(x/2)² - (y/4)² = 1

Answer

(x/2)² + (y/4)² = 1

Answer

(x/4)² - (y/2)² = 1

Answer

(x/4)² + (y/2)² = 1

Question 46

Wie groß ist der Abstand zwischen der Geraden x = 1 + 2t, y = 2 + 3t, z = 3 + 4t und dem Punkt P(1, 2, 1)?

Accepted Answer

√6

Answer

√2

Answer

√3

Answer

√10

Question 47

Welche der folgenden Aussagen über Vektoren ist falsch?

Accepted Answer

Ein Vektor ist eine Strecke.

Answer

Ein Vektor kann parallel zu einer Geraden liegen.

Answer

Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie die gleiche Länge und Richtung haben.

Answer

Ein Vektor hat einen Betrag und eine Richtung.

Question 48

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Gerade mit der Steigung 2?

Accepted Answer

y = 2x

Answer

y = 2x + 1

Answer

2x + y = 0

Question 49

Welche der folgenden Kegelschnitte ist durch die Gleichung x² + y² = 4 gegeben?

Accepted Answer

Kreis

Answer

Hyperbel

Answer

Parabel

Answer

Ellipse

Question 50

Welche der folgenden Distanzen ist die größte?

Accepted Answer

Abstand zwischen (1, 2) und (-3, 4)

Answer

Abstand zwischen (1, 1) und (3, 3)

Answer

Abstand zwischen (-1, 0) und (1, 0)

Answer

Abstand zwischen (0, 0) und (2, 1)

Question 51

Welche der folgenden Aussagen über Normalvektoren ist falsch?

Accepted Answer

Der Normalvektor einer Ebene ist parallel zu dieser Ebene.

Answer

Der Normalvektor einer Ebene steht senkrecht auf dieser Ebene.

Answer

Der Normalvektor einer Gerade ist parallel zu dieser Gerade.

Question 52

Welche der folgenden Gleichungen stellt eine Ebene parallel zur x-y-Ebene dar?

Accepted Answer

z = 0

Answer

x = 0

Answer

y = 0

Question 53

Welche der folgenden Kegelschnitte ist durch die Gleichung y = x² gegeben?

Accepted Answer

Parabel

Answer

Kreis

Answer

Ellipse

Answer

Hyperbel

Question 54

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Gerade, die parallel zur Geraden mit der Gleichung  $x + 2y = 3$ ist?

Accepted Answer

$x + 2y = 5$

Answer

$2x - y = 1$

Answer

$2x + y = 3$

Answer

$x - 2y = 3$

Question 55

Welche der folgenden Punkte liegt auf der Ebene mit der Gleichung $2x - y + 3z = 6$?

Accepted Answer

(1, 2, 0)

Answer

(1, 1, 1)

Answer

(3, 0, 0)

Answer

(0, 0, 2)

Question 56

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Parabel mit dem Scheitelpunkt bei (2, 1) und der Symmetrieachse parallel zur y-Achse?

Accepted Answer

$(x - 2)^2 = 4(y - 1)$

Answer

$(x - 1)^2 = 4(y - 2)$

Answer

$(y - 2)^2 = 4(x - 1)$

Answer

$(y - 1)^2 = 4(x - 2)$

Question 57

Der Vektor $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \ 3 \ 1 \end{pmatrix}$ wird mit dem Vektor $\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \ -1 \ 2 \end{pmatrix}$ multipliziert. Was ist das Ergebnis des Skalarprodukts $\vec{a} \cdot \vec{b}$?

Accepted Answer

3

Answer

7

Answer

5

Answer

9

Question 58

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Hyperbel mit den Brennpunkten bei (\pm 5, 0) und den Asymptoten $y = \pm \frac{3}{4}x$?

Accepted Answer

$\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$

Answer

$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$

Answer

$\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{9} = 1$

Answer

$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{25} = 1$

Question 59

Ein Punkt P liegt auf der Geraden mit der Gleichung $x = 2t + 1, y = -t + 3, z = t - 2$. Welches ist der Parameterwert $t$, wenn P den Punkt (5, 1, -1) enthält?

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

4

Answer

3

Question 60

Welche der folgenden Vektoren ist orthogonal (senkrecht) zum Vektor $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 \end{pmatrix}$?

Accepted Answer

$\begin{pmatrix} -1 \ 1 \ -1 \end{pmatrix}$

Answer

$\begin{pmatrix} 1 \ -1 \ 1 \end{pmatrix}$

Answer

$\begin{pmatrix} 2 \ 1 \ 3 \end{pmatrix}$

Answer

$\begin{pmatrix} 3 \ 2 \ 1 \end{pmatrix}$

Question 61

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt einen Kreis mit dem Mittelpunkt (3, -2) und dem Radius 5?

Accepted Answer

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$

Answer

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 5$

Answer

$(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 25$

Answer

$(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 5$

Question 62

Die Punkte A(1, 2), B(3, 4) und C(5, 6) liegen auf einer Geraden. Welche der folgenden Gleichungen beschreibt diese Gerade?

Accepted Answer

$y = x + 1$

Answer

$y = x - 1$

Answer

$y = 2x$

Question 63

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Ellipse mit den Brennpunkten bei (\pm 4, 0) und den Scheitelpunkten bei (\pm 5, 0)?

Accepted Answer

$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$

Answer

$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1$

Answer

$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$

Answer

$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$