Integrale lernen: Grundlagen der Integralrechnung für die Einführungsphase

Question 1

Welches Integral berechnet die Fläche zwischen der x-Achse und der Funktion f(x) = 2x + 1 im Intervall [0, 3]?

Accepted Answer

∫₀³ (2x + 1) dx

Answer

∫³₀ (2x + 1) dx

Answer

∫⁰³ x² + x dx

Answer

∫³₀ x² + x dx

Question 2

Welchen Wert hat das bestimmte Integral ∫¹² x³ dx?

Accepted Answer

60

Answer

15

Answer

30

Answer

120

Question 3

Welche Methode ist zur Integration von ∫(x²+1) dx geeignet?

Accepted Answer

Integration durch Substitution

Answer

Substitution

Answer

Partielle Integration

Answer

Trigonometrische Substitution

Question 4

Welche Zahl ist die untere Integrationsgrenze des Integrals ∫₃^5 x² dx?

Accepted Answer

3

Answer

5

Answer

0

Answer

1

Question 5

Welche Funktion ist eine Stammfunktion von f(x) = eˣ?

Accepted Answer

eˣ + C

Answer

eˣ - C

Answer

x eˣ

Answer

xeˣ + C

Question 6

Wie groß ist die von der Funktion f(x) = x² und der x-Achse eingeschlossene Fläche im Intervall [0, 1]?

Accepted Answer

1/3

Answer

1/2

Answer

1

Answer

2

Question 7

Welche Aussage über uneigentliche Integrale ist richtig?

Accepted Answer

Uneigentliche Integrale können endlich oder unendlich sein.

Answer

Uneigentliche Integrale sind immer endlich.

Answer

Uneigentliche Integrale sind immer unendlich.

Answer

Uneigentliche Integrale können nicht berechnet werden.

Question 8

Berechne das Integral von x^2 + 2x - 1 hinsichtlich x zwischen den Grenzen 0 und 1.

Accepted Answer

3/2

Answer

1

Answer

2

Answer

-1

Question 9

Was bedeutet die Konstante C in einer Stammfunktion?

Accepted Answer

Konstante

Answer

Integration

Answer

Grenze

Answer

Variable

Question 10

Was ist die Ableitung des Integrals von f(x) = e^x?

Accepted Answer

e^x

Answer

x

Answer

xe^x

Answer

1

Question 11

Welche der folgenden Methoden kann zur Berechnung des Integrals von (x^2) dx verwendet werden?

Accepted Answer

Potenzregel: ∫(x^n) dx = (x^(n+1)) / (n+1) + C

Answer

Produktregel: ∫(u * v) dx = u * ∫v dx - ∫(v * du/dx) dx

Answer

Quotientenregel: ∫(u / v) dx = (∫u dx * v - ∫v dx * u/v) / v^2 + C

Answer

Kettenregel: ∫(f(g(x))) dx = ∫f(u) * du, wobei u = g(x) und du/dx = g'(x)

Question 12

Welche der folgenden Aussagen über uneigentliche Integrale ist wahr?

Accepted Answer

Sie können konvergieren oder divergieren.

Answer

Sie sind immer konvergent.

Answer

Sie sind immer divergent.

Answer

Sie können nur für Polynomfunktionen berechnet werden.

Question 13

Welche der folgenden Integrale stellt die Arbeit dar, die erforderlich ist, um ein Objekt mit der Masse m von der Höhe h auf die Höhe 2h anzuheben?

Accepted Answer

∫(mgh) dh

Answer

∫(mgh / 2) dh

Answer

∫(mg) dh

Answer

∫(2mg) dh

Question 14

Welche der folgenden Substitutionen kann zur Berechnung des Integrals von sin(x^2) dx verwendet werden?

Accepted Answer

u = x^2

Answer

u = sin(x)

Answer

u = cos(x)

Answer

u = tan(x)

Question 15

Welche der folgenden Integrale ist durch elementare Funktionen nicht lösbar?

Accepted Answer

∫(cos(x) / x) dx

Answer

∫(e^x + sin(x)) dx

Answer

∫(x^3 + 2x^2 - 5x + 1) dx

Answer

∫(1 / x^2) dx

Question 16

Welche Funktion ist die Stammfunktion von f(x) = e^x?

Accepted Answer

e^x + C

Answer

x*e^x

Answer

e^-x + C

Answer

ln(e^x) + C

Question 17

Was beschreibt die geometrische Bedeutung des bestimmten Integrals ∫ₐ^b f(x) dx?

Accepted Answer

Die Fläche unterhalb der Kurve y = f(x) zwischen a und b

Answer

Die Summe der Funktionswerte f(x) zwischen a und b

Answer

Die Steigung der Tangente an die Kurve y = f(x) im Punkt (a, f(a))

Question 18

Berechne das Integral von ∫(2x + 3) dx.

Accepted Answer

x² + 3x + C

Answer

x² + C

Answer

2x² + 3x + C

Answer

2x² + C

Question 19

Welches der folgenden Integrale ist uneigentlich?

Accepted Answer

∫(1/x) dx

Answer

∫(x²) dx

Answer

∫(eˣ) dx

Answer

∫(sin(x)) dx

Question 20

Welcher der folgenden Ausdrücke ist ein bestimmtes Integral?

Accepted Answer

∫(x²) dx von 0 bis 2

Answer

∫(x²) dx

Answer

∫(x²) dx / x³

Answer

∫(x²) dx ∫(x³) dx

Question 21

Berechne den Wert von ∫(0) dx im Intervall [0, 1].

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

∞

Answer

-∞

Question 22

Welches der folgenden Integrale ist ein Volumenintegral?

Accepted Answer

∫∫∫(x² + y² + z²) dx dy dz

Answer

∫(x²) dx

Answer

∫∫(x² + y²) dx dy

Answer

∫(x² + y²) / z dx

Question 23

In welchen Bereichen der Physik finden Integrale Anwendung?

Accepted Answer

Alle genannten Bereiche

Answer

Berechnung von Flächen

Answer

Berechnung von Volumina

Answer

Berechnung von Arbeit

Question 24

Welches Integral entspricht der Fläche unterhalb des Graphen der Funktion f(x) = x² zwischen den Grenzen x = 0 und x = 2?

Accepted Answer

∫[0,2] x² dx

Answer

∫[2,0] x² dx

Answer

∫[0,2] x dx

Answer

∫[2,0] x dx

Question 25

Wie lautet der Hauptsatz der Integralrechnung?

Accepted Answer

∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)

Answer

∫f(x) dx = F'(x)

Answer

∫F(x) dx = f(x)

Answer

∫(F(x) + G(x)) dx = ∫F(x) dx + ∫G(x) dx

Question 26

Was ist per Definition ein Integral?

Accepted Answer

Die Summe unendlich vieler infinitesimal kleiner Flächenstücke unter einer Kurve

Answer

Die Stammfunktion einer Funktion

Answer

Die Ableitung einer Funktion

Question 27

Berechne das Integral von x^2 dx:

Accepted Answer

x^3/3 + C

Answer

x^3 - C

Answer

3x^2 + C

Answer

x^2 + C

Question 28

Welche Funktion ist die Stammfunktion von ln(x)?

Accepted Answer

x * ln(x) - x + C

Answer

x^2 * ln(x) + C

Answer

ln(x) + C

Question 29

Welches Integrationsverfahren eignet sich für das Integral von e^x * sin(x) dx?

Accepted Answer

Partielle Integration

Answer

Trigonometrische Substitution

Answer

Bruchzerlegung

Answer

Integration durch Substitution

Question 30

Was gilt für uneigentliche Integrale?

Accepted Answer

Sie können konvergieren oder divergieren

Answer

Sie sind immer konvergent

Answer

Sie sind immer divergent

Question 31

Welches der folgenden Integrale ist ein uneigentliches Integral?

Accepted Answer

∫[0,∞] x^(-1/2) dx

Answer

∫[0,π] sin(x) dx

Answer

∫[0,1] x^2 dx

Answer

∫[-1,1] 1/(x^2) dx

Question 32

Welche Funktion ist eine Stammfunktion von f(x) = 3x²?

Accepted Answer

F(x) = x³ + C

Answer

F(x) = 6x + C

Answer

F(x) = x³

Question 33

Berechnen Sie das bestimmte Integral von f(x) = x² im Intervall von x = 0 bis x = 2.

Accepted Answer

8/3

Answer

4

Answer

1/3

Answer

2

Question 34

Welche Methode kann verwendet werden, um das bestimmte Integral einer Funktion zu berechnen, wenn keine Stammfunktion gefunden werden kann?

Accepted Answer

Numerische Integration

Answer

Integration durch Teile

Answer

Substitution

Answer

Partielle Integration

Question 35

Die Geschwindigkeit eines Objekts wird durch die Funktion f(x) = 2x + 1 beschrieben. Wie groß ist die zurückgelegte Strecke zwischen den Zeiten t = 0 und t = 3?

Accepted Answer

12

Answer

9

Answer

6

Question 36

Welches Ergebnis erhält man durch partielle Integration von ∫x*sin(x) dx?

Accepted Answer

-x*cos(x) + sin(x) + C

Answer

x*sin(x) + cos(x) + C

Answer

x*cos(x) - sin(x) + C

Answer

-x*sin(x) + cos(x) + C

Question 37

Welche Substitution ist geeignet für die Integration von ∫(x² + 1) / (x³ + 3x) dx?

Accepted Answer

u = x³ + 3x

Answer

u = x

Answer

u = x³

Answer

u = x² + 1

Question 38

Die Funktion f(x) = 2x² + 3 hat die Stammfunktion F(x). Welche der folgenden Funktionen ist die richtige Stammfunktion F(x)?

Accepted Answer

F(x) = (2/3)x³ + 3x + C

Answer

F(x) = 4x + C

Answer

F(x) = (2/3)x³ + 3x

Answer

F(x) = 4x³ + 3x + C

Question 39

Berechne das bestimmte Integral von f(x) = x² + 1 zwischen den Grenzen x = 0 und x = 2.

Accepted Answer

8/3

Answer

10/3

Answer

2

Answer

4

Question 40

Welche der folgenden Methoden kann zur Berechnung von Integralen verwendet werden?

Accepted Answer

Substitution

Answer

Faktorisierung

Answer

Quadratische Ergänzung

Answer

Differentiation

Question 41

Welche Formel beschreibt die partielle Integration?

Accepted Answer

∫u dv = uv - ∫v du

Answer

∫u dv = ∫v du

Answer

∫u dv = u² - ∫v² du

Answer

∫u dv = (u + v)²

Question 42

Welches Integral berechnet den Flächeninhalt des Dreiecks, das durch die Punkte (0, 0), (2, 0) und (2, 4) begrenzt wird?

Accepted Answer

∫₀² 2x dx

Answer

∫₀⁴ 2x dx

Answer

∫₀² 4x dx

Answer

∫₀⁴ 4x dx

Question 43

Was passiert mit dem bestimmten Integral, wenn die Integrationsgrenzen vertauscht werden?

Accepted Answer

Das Vorzeichen des bestimmten Integrals ändert sich.

Answer

Das bestimmte Integral wird verdoppelt.

Answer

Das bestimmte Integral bleibt unverändert.

Question 44

Welche Aussage über den Mittelwert einer Funktion f(x) im Intervall [a, b] ist **richtig**?

Accepted Answer

Der Mittelwert ist definiert als (1/(b-a)) ∫ₐᵇ f(x) dx.

Answer

Der Mittelwert ist die Summe aller Funktionswerte im Intervall.

Answer

Der Mittelwert ist der Funktionswert an der Mitte des Intervalls.

Question 45

Welche geometrische Interpretation hat das bestimmte Integral in Bezug auf die Stammfunktion?

Accepted Answer

Das bestimmte Integral gibt die Differenz der Stammfunktionswerte an den Integrationsgrenzen an.

Answer

Das bestimmte Integral gibt den Flächeninhalt unterhalb der Stammfunktion an den Integrationsgrenzen an.

Answer

Das bestimmte Integral gibt die Steigung der Stammfunktion an den Integrationsgrenzen an.

Question 46

Welche der folgenden Funktionen **kann nicht** durch Integration einer anderen Funktion gewonnen werden?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x