Grenzwerte verstehen: Interaktive Übungen und Quizze für die Einführungsphase

Question 1

Welche Definition beschreibt den Grenzwert korrekt?

Accepted Answer

Wenn sich x beliebig einem Wert a nähert, nähert sich f(x) einem Wert L.

Answer

Wenn sich x dem Wert a nähert, muss f(x) den Wert L annehmen.

Answer

Wenn f(x) für alle x existiert, ist der Grenzwert von f(x) für x gegen a gleich f(a).

Answer

Der Grenzwert von f(x) für x gegen a ist der Wert, den f(a) annimmt.

Question 2

Welcher der folgenden Grenzwerte existiert nicht?

Accepted Answer

lim (x→0) x / sin(x)

Answer

lim (x→1) (x² - 1) / (x - 1)

Answer

lim (x→2) (x - 2)²

Answer

lim (x→∞) 1 / x²

Question 3

Welche der folgenden Funktionen hat an der Stelle x = 3 eine Sprungstellen?

Accepted Answer

f(x) = |x - 3|

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 4

Bestimme den Grenzwert von f(x) = (x² - 1) / (x - 1) für x → 1.

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

2

Answer

unendlich

Question 5

Welches der folgenden Diagramme zeigt den Graphen einer Funktion f(x), die den Grenzwert lim (x→∞) f(x) = 2 besitzt?

Accepted Answer

Eine Kurve, die sich asymptotisch der Linie y = 2 annähert

Answer

Eine horizontale Linie bei y = 2

Answer

Eine Gerade mit positiver Steigung

Answer

Eine Kurve, die sich von der Linie y = 2 entfernt

Question 6

Welche der folgenden Funktionen hat keinen Grenzwert für x → 0?

Accepted Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Question 7

Welche Aussage über den Grenzwert lim (x→a) f(x) = L ist korrekt?

Accepted Answer

f(x) muss sich für x → a dem Wert L annähern.

Answer

f(a) muss gleich L sein.

Answer

f(x) muss für alle x gleich L sein.

Answer

f(x) muss für x → a endlich sein.

Question 8

Die Definition eines Grenzwertes lautet:

Accepted Answer

Der Wert, dem sich eine Funktion annähert, wenn die unabhängige Variable einem bestimmten Wert zustrebt.

Answer

Der Wert, den eine Funktion annimmt, wenn die unabhängige Variable einen bestimmten Wert erreicht.

Answer

Der Wert, der die Funktionswerte einer Funktion in einer Umgebung um einen bestimmten Wert einhüllt.

Answer

Der Wert, der die Funktionswerte einer Funktion in einer Umgebung um einen bestimmten Wert trennt.

Question 9

Ermittle den Grenzwert von f(x) = 2x² + 1 für x gegen unendlich:

Accepted Answer

∞

Answer

0

Answer

1

Answer

undefiniert

Question 10

Welche Grenzwertrechenregel gilt für Summen?

Accepted Answer

lim(u(x) + v(x)) = lim(u(x)) + lim(v(x))

Answer

lim(u(x) + v(x)) = lim(u(x)) - lim(v(x))

Answer

lim(u(x) + v(x)) = lim(u(x)) * lim(v(x))

Answer

lim(u(x) + v(x)) ≠ lim(u(x)) + lim(v(x))

Question 11

Ein einseitiger Grenzwert gibt an:

Accepted Answer

Den Funktionswert, dem sich die Funktion nähert, wenn die unabhängige Variable sich einem bestimmten Wert von einer Seite nähert.

Answer

Den Funktionswert, dem sich die Funktion nähert, wenn die unabhängige Variable sich einem bestimmten Wert von beiden Seiten nähert.

Answer

Den Funktionswert, den die Funktion annimmt, wenn die unabhängige Variable den bestimmten Wert erreicht.

Answer

Den Wert, dem die Funktionswerte einer Funktion in einer Umgebung um einen bestimmten Wert zustreben.

Question 12

Berechne den Grenzwert von f(x) = ln(x) für x gegen 0:

Accepted Answer

undefiniert

Answer

-∞

Answer

0

Answer

1

Question 13

Die Bedeutung des Symbols ∞ in der Grenzwertberechnung ist:

Accepted Answer

Unendlich groß

Answer

Beliebig klein

Answer

Nicht existent

Answer

Kleiner als 1

Question 14

Berechne den Grenzwert von f(x) = 1 / x für x gegen unendlich:

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

∞

Answer

undefiniert

Question 15

Bestimmen Sie den Grenzwert von f(x) = x² + 2x + 1, wenn x gegen unendlich geht.

Accepted Answer

unendlich

Answer

0

Answer

2

Answer

-unendlich

Question 16

Welche Aussage über die Stetigkeit einer Funktion ist richtig?

Accepted Answer

Eine Funktion ist an einer Stelle stetig, wenn ihr Grenzwert an dieser Stelle existiert.

Answer

Eine Funktion ist an einer Stelle stetig, wenn ihr Funktionswert an dieser Stelle existiert.

Answer

Eine Funktion ist an einer Stelle stetig, wenn ihre Ableitung an dieser Stelle existiert.

Answer

Eine Funktion ist an einer Stelle stetig, wenn ihr Integral an dieser Stelle existiert.

Question 17

Berechne den Grenzwert von f(x) = sqrt(x² - 1) für x gegen unendlich.

Accepted Answer

unendlich

Answer

0

Answer

1

Answer

minus unendlich

Question 18

Was ist die formal korrekte Definition des Grenzwertes einer Funktion f(x) für x gegen a?

Accepted Answer

Der Wert, dem sich die Funktionswerte f(x) beliebig nahe kommen, wenn x sich beliebig nahe an a annähert

Answer

Der Funktionswert f(a)

Answer

Der Wert, den die Funktion f(x) annimmt, wenn x gleich a ist

Answer

Die Steigung der Funktion f(x) an der Stelle a

Question 19

Berechne den Grenzwert von f(x) = (x² - 1) / (x - 1) für x gegen 1.

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

2

Answer

unendlich

Question 20

Welche Funktion hat keinen Grenzwert für x gegen 0?

Accepted Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = |x|

Question 21

Berechne mithilfe der Regel von L'Hospital den Grenzwert von sin(x) / x für x gegen 0.

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

unendlich

Answer

existiert nicht

Question 22

Ein Grenzwert ist eine Zahl L, der sich eine Funktion f(x) beliebig annähern kann, wenn sich x einer bestimmten Zahl a beliebig annähert. Gilt diese Definition?

Accepted Answer

Ja, diese Definition ist korrekt.

Answer

Nein, die Definition ist inkorrekt.

Answer

Die Definition ist teilweise korrekt, aber es fehlen einige Details.

Answer

Die Definition ist zu allgemein und muss präzisiert werden.

Question 23

Für welchen der folgenden Grenzwerte gilt, dass er nicht existiert?

Accepted Answer

lim (x→-1) (1 / (x + 1))

Answer

lim (x→∞) (sin(x) / x)

Answer

lim (x→0) (cos(x) - 1)

Answer

lim (x→1) (x^2 - 2)

Question 24

Welcher Grenzwert ist gleich e?

Accepted Answer

lim (n→∞) (1 + 1/n)^n

Answer

lim (n→∞) (1 - 1/n)^n

Answer

lim (n→∞) (n + 1/n)^n

Answer

lim (n→∞) (n - 1/n)^n

Question 25

Welche der folgenden Aussagen ist die Epsilon-Delta-Definition von Grenzwert?

Accepted Answer

Für jedes beliebige ε > 0 gibt es ein δ > 0, sodass |f(x) - L| < ε, wenn 0 < |x - a| < δ.

Answer

Für jedes beliebige δ > 0 gibt es ein ε > 0, sodass |f(x) - L| < ε, wenn 0 < |x - a| < δ.

Answer

Für jedes beliebige x > 0 gibt es ein ε > 0, sodass |f(x) - L| < ε, wenn 0 < |x - a| < δ.

Answer

Für jedes beliebige x > 0 gibt es ein δ > 0, sodass |f(x) - L| < ε, wenn 0 < |x - a| < δ.

Question 26

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Definition eines Grenzwertes korrekt?

Accepted Answer

Der Wert, dem sich eine Funktion f(x) nähert, wenn x sich einem bestimmten Wert a nähert

Answer

Der Wert, den eine Funktion f(x) bei x = a annimmt

Answer

Die Steigung der Tangente an die Funktion f(x) im Punkt (a, f(a))

Answer

Die Fläche unter der Kurve f(x) zwischen x = a und x = b

Question 27

Was ist der geometrische Grenzwertwert von sin(x) / x für x gegen 0?

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

Unendlich

Answer

Nicht existent

Question 28

Was besagt das epsilon-delta-Kriterium für Grenzwerte?

Accepted Answer

Es definiert die formale Definition eines Grenzwertes

Answer

Es liefert eine Methode zur Berechnung von Grenzwerten

Answer

Es beschreibt die geometrische Bedeutung eines Grenzwertes

Answer

Es bietet eine Möglichkeit zur numerischen Schätzung von Grenzwerten

Question 29

Welche der folgenden Aussagen über Grenzwerte ist korrekt?

Accepted Answer

Grenzwerte können durch verschiedene Methoden berechnet werden

Answer

Grenzwerte existieren immer

Answer

Grenzwerte sind immer eindeutig bestimmt

Answer

Grenzwerte haben keine praktische Bedeutung

Question 30

Welcher der folgenden Grenzwerte existiert nicht?

Accepted Answer

lim (x -> 1) 1 / (x - 1)

Answer

lim (x -> 0) sin(x) / x

Answer

lim (x -> ∞) e^x

Answer

lim (x -> -∞) x^2

Question 31

Bestimme die waagerechte Asymptote des Graphen der Funktion f(x) = (x^2 + 1) / (x - 1).

Accepted Answer

y = 1

Answer

y = -1

Answer

x = 1

Answer

x = -1

Question 32

Welche der folgenden Funktionen ist an keiner Stelle differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^3

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 33

Die Funktion f(x) = 1/(x-2) ist an welcher Stelle nicht definiert?

Accepted Answer

x = 2

Answer

x = 1

Answer

x = 0

Answer

x = 3

Question 34

Für welche Funktion existiert der Grenzwert für x gegen 3 nicht?

Accepted Answer

f(x) = 1/(x-3)

Answer

f(x) = |x-3|

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Question 35

Welche Aussage über den Grenzwert von f(x) = ln(x) für x gegen 0 ist korrekt?

Accepted Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

Der Grenzwert ist gleich 0.

Answer

Der Grenzwert ist gleich 1.

Question 36

**Definition eines Grenzwertes:** Welcher Satz beschreibt einen Grenzwert korrekt?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Funktion f(x) für x gegen a ist ein Wert L, dem sich die Funktionswerte f(x) nähern, wenn x sich dem Wert a beliebig annähert.

Answer

Ein Grenzwert ist ein Wert, den die Funktion niemals erreicht.

Answer

Ein Grenzwert existiert nur, wenn die Funktion an der entsprechenden Stelle stetig ist.

Question 37

**Berechnung eines Grenzwertes:** Bestimme den Grenzwert von f(x) = (x² - 4) / (x - 2) für x gegen 2.

Accepted Answer

4

Answer

unendlich

Answer

0

Answer

2

Question 38

**Stetigkeit und Grenzwerte:** Welche Funktion ist an der Stelle x = 0 nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x²

Question 39

**Methoden zur Grenzwertberechnung:** Welche Methode eignet sich zur Berechnung des Grenzwerts von f(x) = (x³ - 27) / (x - 3) für x gegen 3?

Accepted Answer

Faktorisieren und Kürzen

Answer

Rationale Polynomdivision

Answer

Wurzelprüfung

Answer

Grenzwertsatz von l'Hospital

Question 40

**Grenzwerte trigonometrischer Funktionen:** Bestimme den Grenzwert von f(x) = tan(x) für x gegen π/2.

Accepted Answer

unendlich

Answer

1

Answer

0

Question 41

**Praktische Anwendung von Grenzwerten:** In welchem Bereich werden Grenzwerte häufig angewendet?

Accepted Answer

Analysis

Answer

Geometrie

Answer

Stochastik

Question 42

Welche der folgenden Definitionen beschreibt einen Grenzwert korrekt?

Accepted Answer

Der Wert, dem sich eine Funktion für x gegen einen bestimmten Wert annähert.

Answer

Ein konstanter Wert.

Answer

Ein unendlicher Wert.

Question 43

Für welche Aussage gilt die Funktion f(x) = 1/x, wenn x gegen 0 geht?

Accepted Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

Der Grenzwert ist 0.

Answer

Der Grenzwert ist 1.

Answer

Der Grenzwert ist unendlich.

Question 44

Welcher Grenzwert ergibt sich für f(x) = |x| für x gegen -2?

Accepted Answer

2

Answer

Unendlich

Answer

0

Answer

-2

Question 45

Welche der folgenden Funktionen besitzt einen Grenzwert von 0 für x gegen unendlich?

Accepted Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 46

Welche Aussage ist äquivalent zu: "Der Grenzwert von f(x) für x gegen a ist L"?

Accepted Answer

Für jedes ε > 0 existiert ein δ > 0, sodass |f(x) - L| < ε, wenn |x - a| < δ.

Answer

Für jedes L > 0 existiert ein ε > 0, sodass |f(x) - L| < ε, wenn |x - a| < δ.

Answer

Für jedes ε > 0 existiert ein δ > 0, sodass |f(x) - L| < δ, wenn |x - a| < ε.

Question 47

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 3 stetig?

Accepted Answer

f(x) = { x^2 - 1, wenn x ≠ 3; 8, wenn x = 3 }

Answer

f(x) = { x^2 - 1, wenn x ≠ 3 }

Answer

f(x) = { x^2 - 1, wenn x < 3; 8, wenn x ≥ 3 }

Answer

f(x) = { 8, wenn x < 3; x^2 - 1, wenn x ≥ 3 }

Question 48

Was beschreibt den Grenzwert einer Funktion am besten?

Accepted Answer

Der Wert, dem sich die Funktionswerte nähern, wenn die unabhängige Variable einem bestimmten Wert immer näher kommt.

Answer

Der niedrigste Wert, den die Funktion erreicht.

Answer

Der höchste Wert, den die Funktion erreicht.

Answer

Der Wert, den die Funktion an einem bestimmten Punkt annimmt.

Question 49

Welche Funktion nähert sich dem Wert 2 an, wenn x gegen 1 strebt?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^2 + 1

Answer

f(x) = 1/x

Question 50

Welche Aussage über den Grenzwert einer Funktion ist FALSCH?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Funktion existiert immer.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann endlich oder unendlich sein.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann an einer Stelle existieren, an der die Funktion nicht definiert ist.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann von links und rechts unterschiedlich sein.

Question 51

Kann der Grenzwert einer Funktion an einer Stelle existieren, an der die Funktion nicht definiert ist?

Accepted Answer

Ja, der Grenzwert kann existieren, auch wenn die Funktion an dieser Stelle nicht definiert ist.

Answer

Nein, der Grenzwert existiert nie, wenn die Funktion an dieser Stelle nicht definiert ist.

Question 52

Welches mathematische Konzept ist eng mit dem Grenzwertbegriff verbunden?

Accepted Answer

Stetigkeit

Answer

Differenzierbarkeit

Answer

Trigonometrie

Answer

Integration

Question 53

Was ist der Unterschied zwischen dem Grenzwert einer Funktion und dem Funktionswert an einer Stelle?

Accepted Answer

Der Grenzwert beschreibt das Verhalten der Funktion in der Nähe einer Stelle, der Funktionswert gibt den Wert der Funktion an dieser Stelle an.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion ist immer gleich dem Funktionswert an dieser Stelle.

Question 54

Welches Tool kann man nutzen, um Grenzwerte grafisch zu untersuchen?

Accepted Answer

Graphenplotter

Answer

Taschenrechner

Answer

Geometrie-Software

Answer

Statistikprogramm

Question 55

Wie lautet der Grenzwert von sin(x) / x für x gegen 0?

Accepted Answer

1

Answer

unbestimmt

Answer

x

Answer

0

Question 56

Die Funktion f(x) = x² - 4 ist:

Accepted Answer

stetig

Answer

nur an der Stelle x = 2 unstetig

Answer

unstetig

Answer

nur an der Stelle x = -2 unstetig

Question 57

Welcher der folgenden Grenzwerte existiert nicht?

Accepted Answer

lim (x -> 0) 1 / x

Answer

lim (x -> ∞) e^x

Answer

lim (x -> 1) sin(x) / x

Answer

lim (x -> 2) x² - 4

Question 58

Der Grenzwert von f(x) = |x - 2| für x gegen 2 beträgt:

Accepted Answer

0

Answer

unbestimmt

Answer

2

Answer

1

Question 59

Der Grenzwert von f(x) = x · sin(1 / x) für x gegen 0 ist:

Accepted Answer

0

Answer

∞

Answer

unbestimmt

Answer

1

Question 60

Die Funktion f(x) = (x² - 1) / (x - 1) besitzt einen Pol an der Stelle:

Accepted Answer

x = 1

Answer

x = 0

Answer

x = 2

Answer

x = -1

Question 61

Was beschreibt den Grenzwert einer Funktion am besten?

Accepted Answer

Der Wert, dem sich die Funktionswerte annähern, wenn die unabhängige Variable gegen einen bestimmten Wert strebt.

Answer

Der höchste Wert, den die Funktion annimmt.

Answer

Der Wert der Funktion an einer bestimmten Stelle.

Answer

Der Wert, der die Funktion am häufigsten annimmt.

Question 62

Welche Funktion hat den Grenzwert 2 für x → ∞?

Accepted Answer

f(x) = (2x + 1) / x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x² + 2

Answer

f(x) = 1 / x²

Question 63

Was ist der Grenzwert der Funktion f(x) = (x² - 4) / (x - 2) für x → 2?

Accepted Answer

4

Answer

∞

Answer

2

Answer

0

Question 64

Wann kann die Regel von L'Hospital angewendet werden?

Accepted Answer

Wenn der Grenzwert einer Funktion als 0/0 oder ∞/∞ vorliegt.

Answer

Nur für Exponentialfunktionen.

Answer

Nur für trigonometrische Funktionen.

Answer

Immer, um Grenzwerte zu berechnen.