Differentialgleichungen: Online-Quiz für die Einführungsphase im Fachgymnasium

Question 1

Welche Differentialgleichung beschreibt eine lineare Abnahme der Funktion y mit der Rate k?

Accepted Answer

y' = -ky

Answer

y' = ky

Answer

y'' = ky

Answer

y'' = -ky

Question 2

Welche der folgenden Aussagen ist korrekt für eine autonome Differentialgleichung?

Accepted Answer

Sie hängt nicht von der unabhängigen Variablen ab.

Answer

Sie ist immer linear.

Answer

Ihre Lösung ist immer eine geradlinige Funktion.

Answer

Sie hat keine eindeutige Lösung.

Question 3

Welche Art von Differentialgleichung beschreibt die Bewegung eines fallenden Körpers mit konstanter Beschleunigung g?

Accepted Answer

Lineare Differentialgleichung 2. Ordnung

Answer

Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung

Answer

Nichtlineare Differentialgleichung 1. Ordnung

Answer

Nichtlineare Differentialgleichung 2. Ordnung

Question 4

Welche Methode wird verwendet, um Differentialgleichungen der Form y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 zu lösen?

Accepted Answer

Reduktion der Ordnung

Answer

Variation der Konstanten

Answer

Separable Differentialgleichungen

Answer

Eigenwertberechnung

Question 5

Welche Aussage ist korrekt für die allgemeine Lösung einer linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten?

Accepted Answer

Sie ist eine Linearkombination von n Eigenfunktionen.

Answer

Sie ist eine Polynomfunktion vom Grad n.

Answer

Sie ist eine Sinus- oder Kosinusfunktion.

Answer

Sie hat keine eindeutige Lösung.

Question 6

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine Riccati-Gleichung?

Accepted Answer

Die Differentialgleichung y' = xy + y^2 ist eine Riccati-Gleichung, da y im Nenner vorkommt.

Answer

Die Differentialgleichung y' = x + y ist eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung.

Answer

Die Differentialgleichung y'' = y + sin(x) ist eine Differentialgleichung zweiter Ordnung.

Answer

Die Differentialgleichung y' = y^2 + 1 ist eine nichtlineare Differentialgleichung erster Ordnung.

Question 7

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist separabel?

Accepted Answer

y' = x * y

Answer

y' = x^2 + y^2

Answer

y'' = y'

Answer

y' = e^x * y

Question 8

Welche der folgenden Funktionen ist die Lösung der Differentialgleichung y' = -y mit der Anfangsbedingung y(0) = 1?

Accepted Answer

y = e^-x

Answer

y = -e^-x

Answer

y = e^x

Answer

y = -e^x

Question 9

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist homogen?

Accepted Answer

y' + x * y = 0

Answer

y' = x * y

Answer

y'' = y'

Answer

y' = e^x * y

Question 10

Welche Substitution ist für die Lösung der Differentialgleichung y' = x^2 * y^2 sinnvoll?

Accepted Answer

u = y^2

Answer

u = y'

Answer

u = x

Answer

u = y

Question 11

Welche der folgenden Verfahren kann zur Lösung der Differentialgleichung y' = 2x + y verwendet werden?

Accepted Answer

Integrierfaktor

Answer

Trennung der Variablen

Answer

Variation der Konstanten

Answer

Laplace-Transformation

Question 12

Welche der folgenden Differentialgleichungen beschreibt das Wachstum einer Bakterienpopulation, die sich proportional zu ihrer Größe vermehrt?

Accepted Answer

y' = ky

Answer

y' = -ky

Answer

y'' = ky

Answer

y'' = -ky

Question 13

Welche der folgenden Aussagen beschreibt eine Differentialgleichung treffend?

Accepted Answer

Eine Gleichung, die eine Funktion und ihre Ableitung beinhaltet.

Answer

Eine Gleichung, deren Lösung stets eine Konstante ist.

Answer

Eine Gleichung, die ausschließlich lineare Terme enthält.

Answer

Eine Gleichung, die niemals analytisch gelöst werden kann.

Question 14

Welche der aufgeführten Differentialgleichungen stellt eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung dar?

Accepted Answer

y' + y = sin(x)

Answer

y' + y^2 = 0

Answer

y'' - 2y' + y = 0

Answer

y' = x^2 + e^x

Question 15

Welche der folgenden Aussagen zu singulären Lösungen ist zutreffend?

Accepted Answer

Singuläre Lösungen sind Lösungen, die nicht Teil der allgemeinen Lösung sind.

Answer

Singuläre Lösungen sind immer konstant.

Answer

Singuläre Lösungen können nur bei homogenen Differentialgleichungen auftreten.

Answer

Singuläre Lösungen sind eindeutig bestimmt.

Question 16

Welchen Nutzen bietet die Verwendung eines integrierenden Faktors?

Accepted Answer

Ermöglicht die Lösung exakter Differentialgleichungen.

Answer

Vereinfacht die Lösung linearer Differentialgleichungen höherer Ordnung.

Answer

Kann zur Bestimmung singulärer Lösungen herangezogen werden.

Answer

Ermöglicht die analytische Lösung nichtlinearer Differentialgleichungen.

Question 17

Welche der folgenden Aussagen zu orthogonalen Trajektorien ist korrekt?

Accepted Answer

Orthogonale Trajektorien schneiden eine gegebene Kurvenschar stets unter rechten Winkeln.

Answer

Orthogonale Trajektorien können nur für nichtlineare Differentialgleichungen ermittelt werden.

Answer

Die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung beinhaltet auch die Gleichung ihrer orthogonalen Trajektorien.

Answer

Orthogonale Trajektorien verlaufen parallel zueinander.

Question 18

Löse die folgende Differentialgleichung erster Ordnung: y' + 2y = 0

Accepted Answer

y = Ce^(-2x)

Answer

y = e^(-2x)

Answer

y = x

Answer

y = x^2

Question 19

Welche der folgenden Anwendungen von Differentialgleichungen ist nicht korrekt?

Accepted Answer

Lösen von Rätseln

Answer

Modellierung des Wachstums einer Bakterienpopulation

Answer

Berechnung der Flugbahn eines Projektils

Answer

Vorhersage des Aktienkurses

Question 20

Was ist der allgemeine Lösungsansatz für eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten?

Accepted Answer

Charakteristische Gleichung aufstellen und lösen

Answer

Variation der Konstanten anwenden

Answer

Integrieren und den Anfangswert einsetzen

Answer

Separation der Variablen durchführen

Question 21

Welche der folgenden Differentialgleichungen beschreibt den radioaktiven Zerfall?

Accepted Answer

y' = -ky

Answer

y'' + ky = 0

Answer

y' = ky^2

Answer

y'' - ky = 0

Question 22

Welche Lösung der Differentialgleichung y' = 2y erfüllt die Anfangsbedingung y(0) = 1?

Accepted Answer

y = e^(2x)

Answer

y = e^x

Answer

y = 2e^x

Answer

y = 2e^(2x)

Question 23

Welche der folgenden Ableitungen ist richtig für die Funktion y = e^(x^2 + 1)?

Accepted Answer

y' = 2xe^(x^2 + 1)

Answer

y' = e^(x^2 + 1)

Answer

y' = x^2e^(x^2 + 1)

Answer

y' = (x^2 + 1)e^(x^2 + 1)

Question 24

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die allgemeine Form einer Differentialgleichung erster Ordnung?

Accepted Answer

y' + p(x) * y = q(x)

Answer

y' * y = q(x)

Answer

y(x) + y'(x) = q(x)

Answer

y(x) * y'(x) = p(x)

Question 25

Welche Integrationsmethode eignet sich am besten zur Lösung der folgenden Differentialgleichung: y' + y = e^x?

Accepted Answer

Lineare Differentialgleichung erster Ordnung

Answer

Trennung der Variablen

Answer

Variation der Konstanten

Answer

Partielle Differentialgleichung

Question 26

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist linear?

Accepted Answer

y'' - 2y' + y = 0

Answer

y' + y^2 = sin(x)

Answer

y' = x * y

Answer

y''' + y = e^x

Question 27

Welche Methode kann verwendet werden, um die Ordnung einer Differentialgleichung zu verringern?

Accepted Answer

Substitution

Answer

Trennung der Variablen

Answer

Variation der Konstanten

Answer

Integration

Question 28

Welche Aussage über die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung zweiter Ordnung ist korrekt?

Accepted Answer

Sie enthält zwei willkürliche Konstanten

Answer

Sie enthält eine willkürliche Konstante

Answer

Sie enthält keine willkürlichen Konstanten

Answer

Sie ist immer eine lineare Funktion

Question 29

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine homogene Differentialgleichung?

Accepted Answer

y'' - 2y' + y = 0

Answer

y' + y = x

Answer

y' = x * y

Answer

y''' + y = e^x

Question 30

Welche Aussage über die partikuläre Lösung einer Differentialgleichung ist richtig?

Accepted Answer

Sie erfüllt sowohl die Differentialgleichung als auch die Anfangsbedingung

Answer

Sie erfüllt die Differentialgleichung, aber nicht die Anfangsbedingung

Answer

Sie erfüllt die Anfangsbedingung, aber nicht die Differentialgleichung

Answer

Sie ist immer eine Konstante

Question 31

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung?

Accepted Answer

∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0

Answer

y'' + y = 0

Answer

y' = x * y

Answer

y''' + y = e^x

Question 32

Welche der folgenden Bedingungen ist notwendig für die Existenz einer eindeutig lösbaren Anfangswertproblems?

Accepted Answer

Die Anfangsbedingung muss eindeutig sein.

Answer

Die Differentialgleichung muss linear sein.

Answer

Die Differentialgleichung muss nichtlinear sein.

Answer

Die Anfangsbedingung muss nicht eindeutig sein.

Question 33

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine separable Differentialgleichung?

Accepted Answer

y' = y/x

Answer

y' = x + y

Answer

y' = sin(x) + cos(y)

Answer

y' = e^x + e^y

Question 34

Welche der folgenden Aussagen ist korrekt für die Lösung einer linearen Differentialgleichung erster Ordnung mit variablen Koeffizienten?

Accepted Answer

Die Lösung kann durch Verwendung eines integrierenden Faktors gefunden werden.

Answer

Die Lösung kann durch Verwendung der Trennung der Variablen gefunden werden.

Answer

Die Lösung kann durch Verwendung der Variation der Konstanten gefunden werden.

Answer

Die Lösung kann durch Verwendung der Laplacetransformation gefunden werden.

Question 35

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung?

Accepted Answer

∂u/∂x + ∂u/∂y = 0

Answer

y' = f(x, y)

Answer

y'' + y' + y = 0

Answer

∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0

Question 36

Welches der folgenden Systeme erster Ordnung ist linear?

Accepted Answer

x' + y' = 0, y' - x' = 1

Answer

x' = y, y' = x²

Answer

x' = y + x * y, y' = x - y²

Answer

x' = e^x + y, y' = x² + y³

Question 37

Ermitteln Sie die Fundamentalmatrix des Systems x' = A * x mit A = [1 2; -1 1].

Accepted Answer

X(t) = [e^t 2e^t; -e^t e^t]

Answer

X(t) = [e^(-t) 2e^(-t); -e^(-t) e^(-t)]

Answer

X(t) = [cos(t) sin(t); -sin(t) cos(t)]

Answer

X(t) = [cosh(t) sinh(t); -sinh(t) cosh(t)]

Question 38

Welche Aussage zur Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen von Anfangswertproblemen ist korrekt?

Accepted Answer

Die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen hängt von den spezifischen Eigenschaften der Differentialgleichung ab.

Answer

Jedes Anfangswertproblem besitzt eine eindeutige Lösung.

Answer

Jedes lineare Anfangswertproblem besitzt eine eindeutige Lösung.

Answer

Jedes nichtlineare Anfangswertproblem besitzt eine eindeutige Lösung.

Question 39

Bestimmen Sie ein partikuläres Integral der Differentialgleichung y'' + 4y = sin(2x).

Accepted Answer

y = (1/6) * sin(2x)

Answer

y = (1/4) * sin(2x)

Answer

y = (1/2) * sin(2x)

Answer

y = sin(2x)

Question 40

Welches Verfahren eignet sich zur Lösung des Anfangswertproblems y' = y², y(0) = 1?

Accepted Answer

Trennung der Variablen

Answer

Euler-Verfahren

Answer

Variation der Konstanten

Answer

Laplace-Transformation

Question 41

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung?

Accepted Answer

y' + 2xy = 0

Answer

y' = e^x + y

Answer

y'' = x^2 + y

Question 42

Welche Anfangsbedingung passt zur Lösung y = x^2 - 1 der Differentialgleichung y' = 2x?

Accepted Answer

y(0) = -1

Answer

y'(0) = 0

Answer

y(1) = 1

Answer

y''(0) = 2

Question 43

Welche Differentialgleichung beschreibt den exponentiellen Zuwachs einer Population?

Accepted Answer

y' = ky

Answer

y' = -ky

Answer

y'' = ky

Answer

y'' = -ky

Question 44

Welche Reihenentwicklung gilt für die Lösung der Differentialgleichung y' = -y?

Accepted Answer

y = c + c₁x + c₂x²/2! + c₃x³/3! + ...

Answer

y = c + c₁x + c₂x³/3! + c₃x⁵/5! + ...

Answer

y = c + c₁x + c₂x⁴/4! + c₃x⁶/6! + ...

Answer

y = c + c₁x + c₂x²/4! + c₃x⁴/8! + ...

Question 45

Welche der folgenden Gleichungen ist eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung?

Accepted Answer

y' = x + y

Answer

sin(x) + cos(y) = 0

Answer

x^2 + y^2 = 1

Answer

x * y'' = y'

Question 46

Welche der folgenden Funktionen ist eine Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung y' = y?

Accepted Answer

y = Ce^x

Answer

y = sin(x)

Answer

y = x * e^x

Answer

y = x^2

Question 47

Welche der folgenden Aussagen über die allgemeine Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung y'' + y = 0 ist richtig?

Accepted Answer

Sie ist eine Linearkombination von sin(x) und cos(x).

Answer

Sie ist eine Exponentialfunktion.

Answer

Sie ist eine quadratische Funktion.

Question 48

Welche Methode kann verwendet werden, um die gewöhnliche Differentialgleichung y' = x * y^2 zu lösen?

Accepted Answer

Variablentrennung

Answer

Substitution

Answer

Lineare Algebra

Answer

Integration durch Teile

Question 49

Welche der folgenden Gleichungen ist eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung?

Accepted Answer

u_x + u_y = 0

Answer

u'' + u = 0

Answer

y' = x * y

Question 50

Welche Methode kann verwendet werden, um die partielle Differentialgleichung u_x + u_y = 0 zu lösen?

Accepted Answer

Method of Characteristics

Answer

Separation of Variables

Answer

Laplace Transform

Answer

Fourier Series

Question 51

Welche der folgenden Funktionen ist eine Lösung der Wellengleichung u_tt = u_xx?

Accepted Answer

u = f(x - t) + g(x + t)

Answer

u = e^(x + t)

Answer

u = x^2 + y^2

Answer

u = sin(x) * cos(t)

Question 52

Welche der folgenden gewöhnlichen Differentialgleichungen ist eine nichtlineare Differentialgleichung?

Accepted Answer

y' = y^2

Answer

y' = e^x

Answer

y'' + y = 0

Answer

y' = y + x

Question 53

Welche der folgenden Aussagen über numerische Lösungsmethoden für Differentialgleichungen ist richtig?

Accepted Answer

Sie liefern in der Regel nur Näherungslösungen.

Answer

Sie sind immer genauer als analytische Methoden.

Answer

Sie benötigen keine Anfangs- oder Randbedingungen.

Answer

Sie können nur für lineare Differentialgleichungen verwendet werden.

Question 54

Welche Software kann verwendet werden, um Differentialgleichungen numerisch zu lösen?

Accepted Answer

Mathematica

Answer

Photoshop

Answer

CAD

Answer

Word

Question 55

Welche der folgenden Gleichungen stellt eine Differentialgleichung erster Ordnung dar?

Accepted Answer

y' = x + y

Answer

y = sin(x)

Answer

y = x² + 1

Answer

y'' + y = 0

Question 56

Welche Funktion löst die Differentialgleichung y' = y?

Accepted Answer

y = ce^x

Answer

y = sin(x)

Answer

y = x²

Answer

y = 1

Question 57

Welche Aussage zu der Differentialgleichung y'' + y = 0 ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung.

Answer

Sie hat keine Lösungen.

Answer

Sie ist eine nichtlineare Differentialgleichung erster Ordnung.

Question 58

Welche Substitution wandelt die Differentialgleichung y' = y(1-y) in eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung um?

Accepted Answer

v = 1 - y

Answer

v = y/x

Answer

v = y'

Answer

v = ln(y)

Question 59

Welche Gleichung ist eine partielle Differentialgleichung?

Accepted Answer

u_t + u_x = 0

Answer

y' = xy

Answer

y'' + y = 0

Question 60

Welche Randbedingung ist für die Differentialgleichung y'' + y = 0 auf dem Intervall [0, 1] zulässig?

Accepted Answer

y(0) = 0, y(1) = 1

Answer

y(0) = 1, y(1) = 0

Answer

y'(0) = 0, y'(1) = 1

Answer

y''(0) = 0, y''(1) = 1

Question 61

Welche Aussage zum Cauchy-Problem für Differentialgleichungen erster Ordnung ist korrekt?

Accepted Answer

Es hat eine eindeutige Lösung, wenn die Lipschitz-Bedingung erfüllt ist.

Answer

Es hat keine Lösung.

Answer

Es hat immer eine Lösung.

Question 62

Welche Aussage trifft auf eine Differentialgleichung erster Ordnung zu?

Accepted Answer

Sie enthält eine Funktion und deren erste Ableitung.

Answer

Sie enthält eine Exponentialfunktion.

Answer

Sie enthält eine Funktion und deren zweite Ableitung.

Question 63

Welche der folgenden Gleichungen ist eine Differentialgleichung erster Ordnung?

Accepted Answer

y' = f(x,y)

Answer

y'' - 4y = 0

Answer

y = x² + 3

Answer

xy + y' = 1

Question 64

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist linear?

Accepted Answer

y' + 2y = eˣ

Answer

y'' + y' + y = sin(x)

Answer

y' = y³

Answer

y' = xy