Trigonometrie für Mechatronikerinnen: Lerne Sinus, Kosinus und Tangens

Question 1

Beweise die trigonometrische Identität sin²x + cos²x = 1 mit Hilfe der Pythagoras-Identität.

Accepted Answer

sin²x + cos²x = 1

Answer

sin²x - cos²x = 1

Answer

sin²x = cos²x

Answer

sin²x + cos²x = 2

Question 2

Welches der folgenden ist die Definition des Sinus eines Winkels α?

Accepted Answer

Gegenkathete gegenüber dem Winkel α geteilt durch die Ankathete neben dem Winkel α

Answer

Ankathete neben dem Winkel α geteilt durch die Gegenkathete gegenüber dem Winkel α

Answer

Hypotenuse geteilt durch die Gegenkathete gegenüber dem Winkel α

Answer

Gegenkathete gegenüber dem Winkel α geteilt durch die Hypotenuse

Question 3

Welche der folgenden Gleichungen gilt für jeden Winkel α?

Accepted Answer

sin² α + cos² α = 1

Answer

sin² α - cos² α = 0

Answer

sin α + cos α = 1

Answer

sin α - cos α = 0

Question 4

Welches Messgerät wird verwendet, um Winkel zu messen?

Accepted Answer

Transporteur

Answer

Lineal

Answer

Zirkel

Answer

Schublehre

Question 5

Welche Einheit wird zur Messung von Winkeln verwendet?

Accepted Answer

Grad

Answer

Meter

Answer

Sekunden

Answer

Newton

Question 6

Welche der folgenden Formeln kann verwendet werden, um die Länge der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks zu berechnen?

Accepted Answer

a² + b² = c²

Answer

a - b = c

Answer

a + b = c

Answer

a / b = c

Question 7

In einem rechtwinkligen Dreieck hat die Gegenkathete die Länge a und die Hypotenuse die Länge c. Welcher Wert ist der Sinus des Winkels α gegenüber der Gegenkathete?

Accepted Answer

a/c

Answer

c/a

Answer

a/b

Answer

c/b

Question 8

Welche der folgenden Gleichungen ist eine trigonometrische Identität?

Accepted Answer

sin²x + cos²x = 1

Answer

sin²x + cos²x = 2

Answer

sin²x + cos²x = 0

Answer

sin²x - cos²x = 1

Question 9

Welcher Ausdruck beschreibt den Tangens eines Winkels α?

Accepted Answer

Gegenkathete geteilt durch Ankathete

Answer

Ein Wert größer als 1

Answer

Nur für Winkel im ersten Quadranten definiert

Answer

Umkehrfunktion des Sinus

Question 10

Welcher Ausdruck ist äquivalent zu sin(α + β)?

Accepted Answer

sin α cos β + cos α sin β

Answer

cos α + sin β

Answer

sin α - cos β

Answer

sin α cos β - cos α sin β

Question 11

Berechne den Kosinus des Winkels 30°.

Accepted Answer

√3 / 2

Answer

1 / 2

Answer

1

Answer

√2 / 2

Question 12

Welche der folgenden Gleichungen ist eine Identität?

Accepted Answer

cos² α + sin² α = 1

Answer

tan α = sin α / cos α

Answer

sin α + cos α = 1

Answer

cot α = cos α / sin α

Question 13

Welche der folgenden Funktionen ist eine gerade Funktion?

Accepted Answer

cos(x)

Answer

tan(x)

Answer

sin(x)

Question 14

Welche Aussage trifft auf den Tangens zu?

Accepted Answer

Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete

Answer

Verhältnis von Hypotenuse zu Ankathete

Answer

Verhältnis von Hypotenuse zu Gegenkathete

Question 15

Nenne eine Anwendung der Trigonometrie.

Accepted Answer

Ermitteln der Höhe eines Gebäudes

Answer

Integrieren von Funktionen

Answer

Ableiten von Funktionen

Answer

Lösen linearer Gleichungen

Question 16

Ein Schiff fährt von Punkt A nach Punkt B, das 100 km entfernt ist. Der Kurswinkel beträgt 45°. Wie groß ist die Distanz in Ost-West-Richtung?

Accepted Answer

70,7 km

Answer

50 km

Answer

141,4 km

Answer

100 km

Question 17

Ein Flugzeug fliegt in einer Höhe von 5000 m über dem Boden. Der Winkel zwischen dem Flugzeug und dem Boden beträgt 30°. Wie weit ist das Flugzeug vom Boden entfernt?

Accepted Answer

10000 m

Answer

15000 m

Answer

5000 m

Answer

25000 m

Question 18

Welche Gleichung repräsentiert die Tangensfunktion?

Accepted Answer

tan(x) = sin(x) / cos(x)

Answer

tan(x) = cos(x) - sin(x)

Answer

tan(x) = cos(x) / sin(x)

Answer

tan(x) = sin(x) + cos(x)

Question 19

Was besagt der Kosinussatz?

Accepted Answer

Ermöglicht die Berechnung der fehlenden Seite eines Dreiecks, wenn zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt sind.

Answer

Dient ausschließlich zur Berechnung von Winkeln.

Question 20

Ein Turm ist 100 m hoch. Ein Beobachter steht 50 m vom Turm entfernt und misst den Elevationswinkel mit 45°. Wie weit ist der Beobachter von der Turmspitze entfernt?

Accepted Answer

100√2 m

Answer

50√2 m

Answer

25√2 m

Answer

150√2 m

Question 21

Welcher Wert ist gleich dem Arkuskosinus von 0,5?

Accepted Answer

60°

Answer

30°

Answer

90°

Answer

120°

Question 22

Welche Aussage über Sinus und Kosinus ist korrekt?

Accepted Answer

Sinus und Kosinus sind periodische Funktionen.

Answer

Sinus und Kosinus sind logarithmische Funktionen.

Answer

Sinus und Kosinus sind gerade Funktionen.

Answer

Sinus und Kosinus sind ungerade Funktionen.

Question 23

Ein Rechteck besitzt eine Länge von 10 cm und eine Breite von 5 cm. Welcher Winkel zwischen der Diagonalen und der Länge entspricht der Tangente von 1?

Accepted Answer

45°

Answer

60°

Answer

30°

Answer

90°

Question 24

Berechne den Kosinus des Winkels α, wenn gegeben ist: sin α = 0,8 und cos α > 0.

Accepted Answer

0,6

Answer

-0,6

Answer

0,4

Answer

-0,4

Question 25

Welches Dreieck weist Winkel von 30°, 60° und 90° auf?

Accepted Answer

Rechtwinkliges Dreieck

Answer

Stumpfwinkliges Dreieck

Answer

Spitzwinkliges Dreieck

Answer

Gleichseitiges Dreieck

Question 26

Mit welcher Formel berechnet man die Länge einer Seite in einem rechtwinkligen Dreieck, wenn ein Winkel und eine andere Seite bekannt sind?

Accepted Answer

a = b * sin α

Answer

a = b * cot α

Answer

a = b * cos α

Answer

a = b * tan α

Question 27

Welches Symbol wird verwendet, um den Sinus eines Winkels darzustellen?

Accepted Answer

sin

Answer

cos

Answer

tan

Answer

cot

Question 28

Berechne den Winkel α, wenn gegeben ist: sin α = 0,5.

Accepted Answer

30°

Answer

60°

Answer

45°

Question 29

Der Sinus eines Winkels beträgt 1. Welchen Wert hat der Winkel?

Accepted Answer

90°

Answer

0°

Answer

30°

Answer

45°

Question 30

Eine Leiter ist 10 m lang und lehnt an eine Wand. Der Fußpunkt der Leiter ist 6 m von der Wand entfernt. Welchen Winkel bildet die Leiter mit der Wand?

Accepted Answer

arctan(6/4)

Answer

arccos(6/4)

Answer

arctangens(4/6)

Answer

arcsin(6/4)

Question 31

Ein Schiff fährt mit einer Geschwindigkeit von 20 Knoten in Richtung Norden. Eine Strömung treibt das Schiff mit einer Geschwindigkeit von 10 Knoten in Richtung Nordwesten. Welche Geschwindigkeit und in welche Richtung bewegt sich das Schiff tatsächlich?

Accepted Answer

22,4 Knoten, 26,5° nordwestlich

Answer

20 Knoten, 45° nordwestlich

Answer

28 Knoten, 36,9° nördlich

Answer

16 Knoten, 63,4° nordwestlich

Question 32

Ein Flugzeug fliegt 500 Kilometer nach Osten und ändert dann seinen Kurs auf 60 Grad nördlich von Osten. Nach 300 Kilometern Flug in dieser neuen Richtung, wie weit ist das Flugzeug dann vom Ausgangspunkt entfernt?

Accepted Answer

583 km

Answer

417 km

Answer

600 km

Answer

700 km

Question 33

Was beschreibt der Sinus eines Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck?

Accepted Answer

Das Verhältnis der Länge der Gegenkathete zur Länge der Hypotenuse

Answer

Das Verhältnis der Länge der Ankathete zur Länge der Gegenkathete

Answer

Die Summe der Längen der Gegenkathete und Ankathete

Answer

Das Verhältnis der Länge der Hypotenuse zur Länge der Ankathete

Question 34

Welche Gleichung ist äquivalent zu tan(α) = 3?

Accepted Answer

cot(α) = 1/3

Answer

sin(α) = 3

Answer

cos(α) = 3

Answer

sin(α/2) = 3

Question 35

Wie groß ist der Sinus des Winkels 60 Grad, wenn man den Einheitskreis verwendet?

Accepted Answer

√3/2

Answer

1

Answer

√2/2

Answer

1/2

Question 36

Welche Formel beschreibt das Additionstheorem für den Sinus?

Accepted Answer

sin(α+β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β)

Answer

sin(α+β) = cos(α)sin(β) - sin(α)cos(β)

Answer

sin(α+β) = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β)

Answer

sin(α+β) = sin(α) - cos(β)

Question 37

Welche Aussage über trigonometrische Funktionen ist korrekt?

Accepted Answer

Trigonometrische Funktionen sind Funktionen von Winkeln.

Answer

Trigonometrische Funktionen sind Funktionen von Kreisbögen.

Answer

Trigonometrische Funktionen sind Funktionen von Seitenlängen.

Question 38

Welche Formel beschreibt die Beziehung zwischen Sinus und Kosinus eines Winkels α?

Accepted Answer

sin²(α) + cos²(α) = 1

Answer

sin(α) = cos(α) / 2

Answer

sin(α) = cos(α) + 1

Answer

sin(α) = cos(α) - 1

Question 39

Ein rechtwinkliges Dreieck hat eine Hypotenuse der Länge 10 cm und einen Winkel von 30°. Wie lang ist die Gegenkathete?

Accepted Answer

5 cm

Answer

8,66 cm

Answer

7,07 cm

Answer

10 cm

Question 40

Welcher Winkel hat einen Tangens von 1?

Accepted Answer

45°

Answer

60°

Answer

30°

Question 41

Ein Dreieck hat Seitenlängen von 5 cm, 7 cm und 9 cm. Welcher Winkel ist der größte?

Accepted Answer

Der Winkel gegenüber der Seite mit der Länge 9 cm

Answer

Der Winkel gegenüber der Seite mit der Länge 5 cm

Answer

Der Winkel gegenüber der Seite mit der Länge 7 cm

Answer

Alle Winkel sind gleich groß

Question 42

Ein Turm ist 20 Meter hoch. Von einem Punkt am Boden aus wird die Spitze des Turms unter einem Winkel von 30° betrachtet. Wie weit ist der Punkt vom Fuß des Turms entfernt?

Accepted Answer

20√3 Meter

Answer

40 Meter

Answer

10 Meter

Answer

20 Meter

Question 43

Welche Formel beschreibt den Tangens eines Winkels α?

Accepted Answer

tan(α) = sin(α) / cos(α)

Answer

tan(α) = cos(α) / sin(α)

Answer

tan(α) = sin(α) + cos(α)

Answer

tan(α) = sin(α) - cos(α)

Question 44

Welcher Winkel hat den größten Kosinuswert?

Accepted Answer

0°

Answer

60°

Answer

90°

Answer

30°

Question 45

Ein rechtwinkliges Dreieck hat eine Hypotenuse von 10 cm und einen Winkel von 60°. Wie lang ist die Gegenkathete?

Accepted Answer

5√3 cm

Answer

10 cm

Answer

8,66 cm

Answer

7,07 cm

Question 46

Ein rechtwinkliges Dreieck hat eine Ankathete von 4 cm und eine Hypotenuse von 5 cm. Wie groß ist der Winkel gegenüber der Ankathete (der sogenannte Gegenwinkel)?

Accepted Answer

53,13°

Answer

36,87°

Answer

45°

Answer

60°

Question 47

Welcher Wert entspricht cos(45°)?

Accepted Answer

√2 / 2

Answer

1

Answer

1 / 2

Answer

√3 / 2

Question 48

Was ist der Wert von tan(90°)?

Accepted Answer

Nicht definiert

Answer

0

Answer

1

Answer

-1

Question 49

Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen Winkel von 30° und eine Gegenkathete von 5 cm. Wie lang ist die Ankathete?

Accepted Answer

8,66 cm

Answer

10 cm

Answer

5 cm

Answer

2,5 cm

Question 50

Ein 5 Meter langer Mast wirft einen 8 Meter langen Schatten auf den Boden. Welchen Winkel schließt der Mast mit dem Boden ein?

Accepted Answer

arctan(5/8)

Answer

tan(5/8)

Answer

arccos(5/8)

Answer

arcsin(5/8)

Question 51

Welche der folgenden Gleichungen ist für alle Winkel α im Bogenmaß gültig?

Accepted Answer

sin²(α) + cos²(α) = 1

Answer

sin(α) = 1 / cos(α)

Answer

tan(α) = sin(α) * cos(α)

Answer

sin(α) + cos(α) = 1

Question 52

Ein Einheitskreis hat einen Radius von 1. Wie lang ist die y-Koordinate eines Punktes auf dem Einheitskreis, der einen Winkel von π/3 Radiant mit der positiven x-Achse einschließt? (Hinweis: Die y-Koordinate entspricht dem Sinuswert.)

Accepted Answer

√3 / 2

Answer

√2 / 2

Answer

1/2

Answer

1

Question 53

Ein regelmäßiges Sechseck hat eine Seitenlänge von 4 cm. Wie groß ist der Flächeninhalt des Sechsecks?

Accepted Answer

24√3 cm²

Answer

16√3 cm²

Answer

24 cm²