Integrale lernen: Online-Quizze und Übungen für Mechatronikerinnen

Question 1

Welches Integral berechnet die Fläche unter dem Graphen der Funktion f(x) = x² im Intervall [0, 1]?

Accepted Answer

∫[0, 1] x² dx

Answer

∫[0, 1] x dx

Answer

∫[1, 0] x dx

Answer

∫[1, 0] x² dx

Question 2

Welche Integrationstechnik ist anzuwenden, um das Integral ∫[0, 1] x√(1 - x²) dx zu lösen?

Accepted Answer

Trigonometrische Substitution

Answer

Partielle Integration

Answer

Rationale Funktion

Answer

Polarkoordinaten

Question 3

Welches Integral berechnet die Arbeit, die erforderlich ist, um ein Objekt von der Position x = 0 auf die Position x = 1 gegen die Kraft f(x) = x² + 1 zu bewegen?

Accepted Answer

∫[0, 1] (x² + 1) dx

Answer

∫[1, 0] (x² + 1) dx

Answer

∫[0, 1] x dx

Answer

∫[1, 0] x dx

Question 4

Welches Integral berechnet die Länge des Bogens der Kurve y = ln(x) im Intervall [1, e]?

Accepted Answer

∫[1, e] √(1 + (1/x)²) dx

Answer

∫[1, e] √(1 + x²) dx

Answer

∫[e, 1] √(1 + (1/x)²) dx

Answer

∫[e, 1] √(1 + x²) dx

Question 5

Welche Integralregel wird verwendet, um das Integral von ax^n zu berechnen?

Accepted Answer

Potenzregel

Answer

Summenregel

Answer

Produktregel

Answer

Quotientenregel

Question 6

Berechne das Integral von ∫(e^x + cos(x)) dx.

Accepted Answer

e^x + sin(x) + C

Answer

e^x - cos(x) + C

Answer

(e^x)^2 + (cos(x))^2 + C

Answer

Nicht berechenbar

Question 7

Berechne das Integral von ∫x/(x^2 + 1) dx.

Accepted Answer

1/2 * ln(x^2 + 1) + C

Answer

(x^2 + 1)/2 + C

Answer

arctan(x) + C

Answer

Nicht berechenbar

Question 8

Welche Aussage zur unbestimmten Integration ist richtig?

Accepted Answer

Sie liefert eine Stammfunktion.

Answer

Sie ergibt immer einen Wert.

Answer

Sie ist eine eindeutige Operation.

Answer

Sie kann nur für Polynome angewendet werden.

Question 9

Was geben die Integrationsgrenzen an?

Accepted Answer

Den Bereich, über den integriert wird.

Answer

Den Wert des Integrals.

Answer

Die Stammfunktion.

Answer

Sie haben keinen Einfluss auf das Ergebnis.

Question 10

Berechne das Integral von ∫(x^3 - 2x^2 + 1) dx von x = 0 bis x = 2.

Accepted Answer

10/3

Answer

2

Answer

4/3

Answer

Nicht berechenbar

Question 11

Welche Funktion ist die Ableitung von ∫ x^2 dx?

Accepted Answer

2x

Answer

x^2

Answer

1/x

Answer

x

Question 12

Welche Funktion ist die Stammfunktion von 1/x?

Accepted Answer

ln(x) + C

Answer

e^x + C

Answer

-1/x + C

Answer

x + C

Question 13

Welches Integral stellt das Volumen des Körpers dar, der durch Drehen des Bereichs unter der Kurve y = e^(-x^2) im Intervall [-∞, ∞] um die x-Achse entsteht?

Accepted Answer

∫[-∞,∞] πe^(-x^2) dx

Answer

∫[0,∞] πe^(-x^2) dx

Answer

∫[-∞,0] πe^(-x^2) dx

Answer

πe^(-x^2) dx

Question 14

Welches Integral berechnet das Volumen des Körpers, der durch die Drehung der Fläche unter der Kurve y = x im Intervall [0, 2] um die y-Achse entsteht?

Accepted Answer

π ∫[0,2] x² dx

Answer

∫[0,2] x² dx

Answer

π/2 ∫[0,2] x² dx

Answer

2π ∫[0,2] x² dx

Question 15

Berechne das unbestimmte Integral von ∫ sin(2x) dx.

Accepted Answer

-cos(2x)/2 + C

Answer

-2sin(2x) + C

Answer

sin(2x) + C

Answer

2cos(2x) + C

Question 16

Berechne das Integral von ∫ (x² - 3x + 2)/(x-1) dx.

Accepted Answer

x - 2 + ln(|x-1|) + C

Answer

(x-1)² + C

Answer

x² - 3x + 2 + C

Answer

x³ - 3x² + 2x + C

Question 17

Welches Integral berechnet die Fläche unter der Kurve y = x² zwischen x = 0 und x = 2?

Accepted Answer

∫[0, 2] x² dx

Answer

∫[2, 0] x² dx

Answer

∫[2, 0] x dx

Answer

∫[0, 2] x dx

Question 18

Welche Aussage über das Integral einer Funktion f(x) ist korrekt?

Accepted Answer

Die Ableitung von ∫f(x) dx ist f(x).

Answer

Das Integral einer Funktion f(x) ist eine Konstante.

Answer

Das Integral einer Funktion f(x) ist immer positiv.

Question 19

Welche Integrationsregel muss angewendet werden, um ∫x³ dx zu berechnen?

Accepted Answer

Potenzregel: ∫xⁿ dx = (1/(n+1)) * x^(n+1)

Answer

Produktregel: ∫f(x) * g(x) dx = f(x) * ∫g(x) dx - ∫f'(x) * ∫g(x) dx

Answer

Summenregel: ∫(f(x) + g(x)) dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx

Answer

Quotientenregel: ∫f(x)/g(x) dx = ∫f(x) * ∫g(x) dx / ∫g(x) dx

Question 20

Welche Integrationstechnik ist für die Berechnung von ∫e^(2x) dx erforderlich?

Accepted Answer

Substitution: u = 2x

Answer

Partielle Integration

Answer

Trigonometrische Substitution

Answer

Integration durch Teile

Question 21

Welche Aussage über uneigentliche Integrale ist korrekt?

Accepted Answer

Uneigentliche Integrale können konvergieren oder divergieren.

Answer

Uneigentliche Integrale sind immer konvergent.

Answer

Uneigentliche Integrale sind immer divergent.

Question 22

Welches Integral berechnet die Arbeit, die erforderlich ist, um ein 10 kg schweres Objekt vom Boden auf eine Höhe von 5 m zu heben, wenn die Erdbeschleunigung 9,81 m/s² beträgt?

Accepted Answer

∫[0, 5] 10 * 9,81 * x dx

Answer

∫[5, 0] 10 * 9,81 * x dx

Answer

∫[0, 5] 9,81 * x dx

Answer

∫[0, 5] 10 * x dx

Question 23

Welche Integrationsmethode ist für die Berechnung von ∫√(x) dx erforderlich?

Accepted Answer

Substitution: u = √(x)

Answer

Partielle Integration

Answer

Trigonometrische Substitution

Answer

Integration durch Teile

Question 24

Berechne das Integral von ∫(x² + 2x - 1) dx.

Accepted Answer

x³/3 + x² - x + C

Answer

2x³ + x² - x + C

Answer

x² + x - 1 + C

Answer

x³ - x² + x + C

Question 25

Welche Funktion ist die Stammfunktion von f(x) = sin(x)?

Accepted Answer

-cos(x) + C

Answer

x + C

Answer

cos(x) + C

Answer

sin(x) + C

Question 26

Bestimme den Flächeninhalt unterhalb der Kurve f(x) = x² im Intervall [0, 2].

Accepted Answer

8/3

Answer

2/3

Answer

1/3

Answer

4/3

Question 27

Welches ist das unbestimmte Integral von ∫(e^x + cos(x)) dx?

Accepted Answer

e^x + sin(x) + C

Answer

e^x - sin(x) + C

Answer

e^x * cos(x) + C

Question 28

Welche Anwendung von Integralen findet sich bei der Bestimmung der Arbeit, die zum Anheben eines Objekts auf eine bestimmte Höhe geleistet wird?

Accepted Answer

Berechnung des Integrals der Kraft über die Höhe

Answer

Berechnung der Ableitung der Höhe über die Zeit

Answer

Berechnung des Integrals der Masse über die Geschwindigkeit

Answer

Berechnung der Ableitung der Kraft über die Zeit

Question 29

Welche der folgenden Formeln repräsentiert die Substitutionsregel für Integrale korrekt?

Accepted Answer

∫f(g(x)) * g'(x) dx

Answer

∫f'(g(x)) * g(x) dx

Answer

∫f(g(x)) dx

Answer

∫f(g(x)) * g'(x) d(g(x))

Question 30

Welche Aussage über Integrale ist **unzutreffend**?

Accepted Answer

Integrale können nur für positive Funktionen gelöst werden.

Answer

Integrale können zur Berechnung von Flächen unter Kurven genutzt werden.

Answer

Integrale können zur Berechnung von Volumina eingesetzt werden.

Question 31

Welches der folgenden Integrale ist **unbestimmt**?

Accepted Answer

∫x² dx

Answer

∫x² dx von -1 bis 1

Answer

∫x² dx von 1 bis 2

Answer

∫x² dx von 0 bis 1

Question 32

Berechne das bestimmte Integral ∫(2x + 1) dx von 0 bis 2.

Accepted Answer

6

Answer

4

Answer

8

Answer

10

Question 33

Welche Integrationsregel kommt bei der Berechnung des Integrals ∫(x² + 2x) dx zur Anwendung?

Accepted Answer

Potenzregel

Answer

Partielle Integration

Answer

Substitution

Answer

Trapezregel

Question 34

Welche Fläche wird von der Kurve f(x) = x² und der x-Achse im Intervall [0, 2] eingeschlossen?

Accepted Answer

8/3

Answer

2

Answer

16/3

Answer

4

Question 35

Welche Funktion ist die Stammfunktion von f(x) = 2x + 1?

Accepted Answer

F(x) = x² + x

Answer

F(x) = x² + 1

Answer

F(x) = 2x² + x

Answer

F(x) = x + 1

Question 36

Wie lautet die Formel für die Trapezregel zur numerischen Approximation von Integralen?

Accepted Answer

∫f(x) dx ≈ (h/2) * [f(x₀) + 2f(x₁) + 2f(x₂) + ... + 2f(xₙ₋₁) + f(xₙ)]

Answer

∫f(x) dx ≈ (h/2) * [f(x₀) + f(x₁) + f(x₂) + ... + f(xₙ₋₁) + f(xₙ)]

Answer

∫f(x) dx ≈ (h/3) * [f(x₀) + 4f(x₁) + 2f(x₂) + ... + 4f(xₙ₋₁) + f(xₙ)]

Question 37

Was besagt der Mittelwertsatz der Integralrechnung?

Accepted Answer

Für eine stetige Funktion f(x) auf dem Intervall [a, b] existiert mindestens ein c ∈ [a, b] mit f(c) = (1/(b-a)) * ∫[a,b] f(x) dx.

Answer

Die Fläche unter der Kurve einer Funktion ist gleich dem Integral der Funktion.

Question 38

Welche Formel beschreibt die partielle Integration?

Accepted Answer

∫u dv = uv - ∫v du

Answer

∫u dv = ∫v du

Answer

∫u dv = uv + ∫v du

Question 39

Welches Integral ergibt die Flächenberechnung unter dem Graphen der Funktion f(x) = x^2 zwischen den Grenzen x = 0 und x = 2?

Accepted Answer

8/3

Answer

6

Answer

4/3

Answer

2

Question 40

Welche Integrationstechnik eignet sich zur Berechnung des Integrals ∫(x^2 + 1)e^x dx?

Accepted Answer

Partielle Integration

Answer

Substitution

Answer

Trigonometrische Substitution

Answer

Bruchzerlegung

Question 41

Bestimmen Sie das Integral ∫(cos(x) + sin(x)) dx.

Accepted Answer

sin(x) - cos(x) + C

Answer

sin(x) + cos(x) + C

Answer

cos(x) + sin(x) + C

Answer

-cos(x) + sin(x) + C

Question 42

Welche Aussage über die Integralfunktion ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist eine Stammfunktion der Integranden.

Answer

Sie ist der Flächeninhalt unter dem Graphen der Integranden.

Answer

Sie ist eine Konstante.

Answer

Sie ist die Ableitung der Integranden.

Question 43

Berechnen Sie das unechte Integral ∫[0,∞) e^(-x) dx.

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

∞

Answer

e

Question 44

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion von f(x) = sin(2x)?

Accepted Answer

-1/2 cos(2x)

Answer

1/2 sin(2x)

Answer

1/2 cos(2x)

Answer

-1/2 sin(2x)

Question 45

Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion, deren Graph durch Rotation um die y-Achse den Rotationskörper mit dem Volumen V = π/2 erzeugt.

Accepted Answer

x = ±sqrt(y/2)

Answer

x = ±sqrt(2y)

Answer

x = ±sqrt(y)

Question 46

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die geometrische Bedeutung des Integrals einer Funktion f(x) über einem Intervall [a, b]?

Accepted Answer

Es ist der Flächeninhalt unter dem Graphen von f(x) im Intervall [a, b].

Answer

Es ist der Umfang des Graphen von f(x) im Intervall [a, b].

Answer

Es ist das Volumen des Körpers unter dem Graphen von f(x) im Intervall [a, b].

Question 47

Berechnen Sie das Integral ∫(x^3 - 2x^2 + x) dx.

Accepted Answer

x^4/4 - 2x^3/3 + x^2/2 + C

Answer

-x^4/4 + 2x^3/3 - x^2/2 + C

Answer

x^4/4 + 2x^3/3 - x^2/2 + C

Answer

x^4 - 2x^3 + x + C

Question 48

Bestimmen Sie das unbestimmte Integral von f(x) = 3x² + 2x - 1.

Accepted Answer

x³ + x² - x + C

Answer

6x + 2 + C

Answer

9x² + 2 + C

Answer

x³ + x² - 1 + C

Question 49

Welches der folgenden Integrale entspricht der Fläche unter der Kurve von f(x) = x² im Intervall [0, 2]?

Accepted Answer

∫₀² x² dx

Answer

∫₀² (x² + 1) dx

Answer

∫₀¹ x² dx

Answer

∫₁² x² dx

Question 50

Berechnen Sie das bestimmte Integral von f(x) = sin(x) im Intervall [0, π/2].

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

π/2

Answer

-1

Question 51

Welche der folgenden Substitutionen ist am besten geeignet, um das Integral ∫(x² + 1)⁵ * 2x dx zu lösen?

Accepted Answer

u = x² + 1

Answer

u = x

Answer

u = 2x

Question 52

Welches Integral entspricht dem Volumen des Rotationskörpers, der durch Rotation der Kurve y = √x um die x-Achse im Intervall [0, 4] entsteht?

Accepted Answer

∫₀⁴ π(√x)² dx

Answer

∫₀⁴ π(√x) dx

Answer

∫₀⁴ πx dx

Answer

∫₀⁴ 2π√x dx

Question 53

Welches der folgenden Integrale stellt die Länge der Kurve y = x² im Intervall [0, 1] dar?

Accepted Answer

∫₀¹ √(1 + (2x)²) dx

Answer

∫₀¹ √(1 + 4x²) dx

Answer

∫₀¹ √(1 + x²) dx

Answer

∫₀¹ √(1 + x⁴) dx

Question 54

Welches der folgenden Integrale entspricht dem Schwerpunkt einer ebenen Fläche, die durch die Kurve y = x², die x-Achse und die Gerade x = 2 begrenzt wird?

Accepted Answer

∫₀² x * x² dx / ∫₀² x² dx

Answer

∫₀² x³ dx / ∫₀² x² dx

Answer

∫₀² x² dx / ∫₀² x dx

Answer

∫₀² x² dx / ∫₀² 1 dx

Question 55

Bestimmen Sie das unbestimmte Integral von f(x) = e^x * cos(x).

Accepted Answer

½e^x(sin(x) + cos(x)) + C

Answer

e^x * sin(x) + C

Answer

e^x * cos(x) + C

Answer

½e^x(sin(x) - cos(x)) + C

Question 56

Welches der folgenden Integrale entspricht dem Arbeit, die geleistet wird, um ein Objekt mit der Masse 10 kg von einer Höhe von 2 m auf eine Höhe von 5 m zu heben?

Accepted Answer

∫₂⁵ 10g dx

Answer

∫₂⁵ 10 dx

Answer

∫₀⁵ 10g dx

Answer

∫₂⁵ 10g² dx

Question 57

Welches der folgenden Integrale stellt die durchschnittliche Geschwindigkeit eines Objekts im Zeitintervall [a, b] dar, wenn die Geschwindigkeit des Objekts durch die Funktion v(t) gegeben ist?

Accepted Answer

∫ₐᵇ v(t) dt / (b - a)

Answer

∫ₐᵇ v'(t) dt / (b - a)

Answer

∫ₐᵇ v(t) dt / (b + a)

Answer

∫ₐᵇ v(t) dt