Grenzen und Stetigkeit in der Mathematik für Köche und Köchinnen

Question 1

Die Differenzierbarkeit einer Funktion f an der Stelle x = a bedeutet, dass:

Accepted Answer

Die Ableitung von f(x) an der Stelle x = a existiert.

Answer

f(a) ist definiert.

Answer

f ist stetig an der Stelle x = a.

Answer

f ist monoton an der Stelle x = a.

Question 2

Welche Funktion hat einen Sprung bei y = 2?

Accepted Answer

f(x) = |x - 2|

Answer

f(x) = x

Answer

f(x) = x + 1

Answer

f(x) = x²

Question 3

Welche Aussage über die Funktion f(x) = 1 / (x²) ist korrekt?

Accepted Answer

f(x) ist bei x = 0 nicht stetig

Answer

f(x) ist bei x = 0 stetig

Answer

f(x) ist bei x = 1 stetig

Answer

f(x) ist überall stetig

Question 4

Welche Funktion hat eine senkrechte Asymptote bei x = 3?

Accepted Answer

f(x) = (x - 3) / (x² - 9)

Answer

f(x) = (x + 3) / (x² - 9)

Answer

f(x) = (x - 3) / (x - 9)

Answer

f(x) = (x + 3) / (x + 9)

Question 5

Welche Aussage über die Funktion f(x) = √(x - 1) ist korrekt?

Accepted Answer

f(x) ist bei x = 1 nicht stetig

Answer

f(x) ist bei x = 1 stetig

Answer

f(x) ist bei x = 2 stetig

Answer

f(x) ist überall stetig

Question 6

Welche Funktion hat eine waagerechte Asymptote bei y = 2?

Accepted Answer

f(x) = (2x + 1) / (x - 1)

Answer

f(x) = (2x - 1) / (x + 1)

Answer

f(x) = (x² + 1) / (x - 2)

Answer

f(x) = (x² - 1) / (x + 2)

Question 7

Welcher der folgenden Ausdrücke stellt einen Grenzwert dar?

Accepted Answer

lim x → 0 (2x + 1)

Answer

f(x) = x²

Answer

sin(x)

Answer

e^x

Question 8

Welche Bedingung muss eine Funktion f(x) erfüllen, damit sie an der Stelle x = a differenzierbar ist?

Accepted Answer

f(x) ist an x = a stetig.

Answer

f(x) ist an x = a nicht stetig.

Answer

f(x) ist an x = a zweimal stetig differenzierbar.

Answer

f(x) ist an x = a unstetig.

Question 9

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 10

Welche Art von Unstetigkeit tritt bei der Funktion f(x) = 1 / x an der Stelle x = 0 auf?

Accepted Answer

Unendliche Unstetigkeit

Answer

Hebbare Unstetigkeit

Answer

Sprungunstedtigkeit

Answer

Oszillierende Unstetigkeit

Question 11

Wie unterscheiden sich der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert einer Funktion f an der Stelle x = a?

Accepted Answer

Der linksseitige Grenzwert nähert sich dem Funktionswert von links an die Stelle x = a an, während der rechtsseitige Grenzwert sich von rechts an die Stelle x = a annähert.

Answer

Der rechtsseitige Grenzwert ist immer kleiner als der linksseitige Grenzwert.

Answer

Der linksseitige Grenzwert wird auch Grenzwert von oben genannt.

Question 12

Berechne den Grenzwert von f(x) = x^2 - 1 für x gegen Unendlich.

Accepted Answer

unendlich

Answer

0

Answer

1

Answer

-unendlich

Question 13

Welche Aussage über stetige Funktionen ist korrekt?

Accepted Answer

Stetige Funktionen haben an jeder Stelle denselben Grenzwert wie ihr Funktionswert.

Answer

Stetige Funktionen haben an jeder Stelle eine Spitze.

Answer

Stetige Funktionen existieren an jeder Stelle.

Answer

Stetige Funktionen sind an jeder Stelle differenzierbar.

Question 14

Bestimme den Grenzwert von f(x) = (x - 1) / (x^2 - 1) für x gegen 1.

Accepted Answer

0,5

Answer

1

Answer

unendlich

Answer

-unendlich

Question 15

Welche Funktion ist nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = 1 / x^2

Answer

f(x) = x^3

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = |x|

Question 16

Ist die Funktion f(x) = e^x stetig?

Accepted Answer

Ja

Answer

Nein

Answer

Nur linksseitig stetig

Answer

Nur rechtsseitig stetig

Question 17

Welche Aussage über Stetigkeitsoperationen ist falsch?

Accepted Answer

Der Quotient zweier stetiger Funktionen ist überall stetig.

Answer

Die Summe zweier stetiger Funktionen ist stetig.

Answer

Das Produkt zweier stetiger Funktionen ist stetig.

Answer

Die Ableitung einer stetigen Funktion ist stetig.

Question 18

Ist die Funktion f(x) = x * sin(1 / x) stetig?

Accepted Answer

Nein

Answer

Ja

Answer

Nur linksseitig stetig

Answer

Nur rechtsseitig stetig

Question 19

Berechne den Grenzwert von f(x) = (x² - 4) / (x - 2) für x gegen 2.

Accepted Answer

4

Answer

-4

Answer

0

Answer

Unendlich

Question 20

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = x<sup>2</sup>

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Question 21

Welche der folgenden Aussagen über Grenzwerte ist richtig?

Accepted Answer

Alle genannten Aussagen sind richtig.

Answer

Grenzwerte können für unendlich viele x-Werte existieren.

Answer

Grenzwerte können negativ oder positiv sein.

Answer

Grenzwerte können gleich Unendlich oder Minus Unendlich sein.

Question 22

Berechne den Grenzwert von f(x) = sin(x) / x für x gegen 0.

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

Unendlich

Answer

Minus Unendlich

Question 23

Berechne den Grenzwert von f(x) = (x^2 - 9) / (x - 3) für x gegen 3.

Accepted Answer

6

Answer

-6

Answer

0

Answer

Unendlich

Question 24

Welche Aussage über Grenzwerte ist falsch?

Accepted Answer

Grenzwerte müssen immer rationale Zahlen sein.

Answer

Grenzwerte können gleich Null sein.

Answer

Grenzwerte können für verschiedene x-Werte existieren.

Answer

Grenzwerte können durch Einsetzen in die Funktion berechnet werden.

Question 25

Berechne den Grenzwert von f(x) = (x² - 1) / (x - 1) für x → 1.

Accepted Answer

2

Answer

unendlich

Answer

0

Answer

unbestimmt

Question 26

Bestimme, ob die Funktion f(x) = 1 / (x - 2) an der Stelle x = 2 stetig ist.

Accepted Answer

unstetig

Answer

stetig

Answer

bedingt stetig

Answer

nicht definiert

Question 27

Berechne den Grenzwert von f(x) = (e^x - 1) / x für x → 0 mit Hilfe des Satzes von l'Hospital.

Accepted Answer

1

Answer

e

Answer

0

Answer

∞

Question 28

Untersuche die Stetigkeit der Funktion f(x) = 1 / (x² - 1) an der Stelle x = 1.

Accepted Answer

unstetig

Answer

stetig

Answer

nicht definiert

Answer

bedingt stetig

Question 29

Berechnen Sie den Grenzwert von f(x) für x gegen 0, wenn f(x) = (sin(x) - x) / x³.

Accepted Answer

1/6

Answer

-1/6

Answer

0

Answer

unbestimmt

Question 30

Welche der folgenden Aussagen ist korrekt für die Funktion f(x) = x² - 2x + 1?

Accepted Answer

Die Funktion ist stetig für alle reellen Zahlen.

Answer

Die Funktion ist stetig für alle x außer x = 1.

Answer

Die Funktion ist nicht stetig für x = 1.

Answer

Die Funktion ist nicht stetig für alle reellen Zahlen.

Question 31

Berechnen Sie den Grenzwert von f(x) für x gegen unendlich, wenn f(x) = (eˣ - 1) / (eˣ + 1).

Accepted Answer

1

Answer

-1

Answer

unbestimmt

Answer

0

Question 32

Berechnen Sie den Grenzwert von f(x) für x gegen 0, wenn f(x) = (1 - cos(x)) / x².

Accepted Answer

1/2

Answer

unbestimmt

Answer

0

Answer

-1/2

Question 33

Welche der folgenden Funktionen ist nicht stetig an der Stelle x = 0?

Accepted Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = eˣ

Answer

f(x) = x²

Question 34

Welche der folgenden Aussagen beschreibt korrekt den Begriff Grenzwert?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Funktion für x gegen einen bestimmten Wert existiert, wenn sich die Funktionswerte der Funktion für x gegen diesen Wert einem bestimmten Wert nähern.

Answer

Der Grenzwert ist der Wert, den die Funktion für x gegen einen bestimmten Wert annimmt.

Answer

Der Grenzwert hängt vom Differenzenquotienten der Funktion ab.

Question 35

Welche der folgenden Aussagen beschreibt korrekt die Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle?

Accepted Answer

Eine Funktion ist an einer Stelle stetig, wenn ihr Grenzwert an dieser Stelle existiert und gleich dem Funktionswert an dieser Stelle ist.

Answer

Eine Funktion ist an einer Stelle stetig, wenn ihr Grenzwert an dieser Stelle existiert.

Answer

Eine Funktion ist an einer Stelle stetig, wenn ihre Ableitung an dieser Stelle existiert.

Question 36

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Question 37

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = x^4 - 2x^2 + 3.

Accepted Answer

4x^3 - 4x

Answer

x^4 - 4

Answer

x^3 - 2

Question 38

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion der Funktion f(x) = 2x?

Accepted Answer

x^2 + C

Answer

x

Answer

2

Question 39

Welche der folgenden Aussagen beschreibt korrekt das Integral einer Funktion über ein Intervall?

Accepted Answer

Das Integral einer Funktion über ein Intervall ist gleich der Fläche unter dem Graphen der Funktion über das Intervall.

Answer

Das Integral einer Funktion über ein Intervall ist gleich der Summe der Funktionswerte an den Endpunkten des Intervalls.

Answer

Das Integral einer Funktion über ein Intervall ist gleich dem Funktionswert an einem Endpunkt des Intervalls.

Question 40

Welche der folgenden Aussagen ist **nicht** korrekt?

Accepted Answer

Die Grenzwertrechnung ist nur für differenzierbare Funktionen anwendbar.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann unendlich sein.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann existieren, auch wenn die Funktion an der Stelle nicht definiert ist.

Question 41

Bestimmen Sie den Grenzwert der Funktion **f(x) = (x^2 - 4) / (x - 2)** für **x → 2**.

Accepted Answer

4

Answer

unendlich

Answer

undefined

Answer

2

Question 42

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle **x = 0** unstetig?

Accepted Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = cos(x)

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Question 43

Welche der folgenden Aussagen ist falsch in Bezug auf die Stetigkeit einer Funktion?

Accepted Answer

Eine Funktion ist stetig, wenn sie an jeder Stelle einen Sprung aufweist.

Answer

Eine Funktion ist stetig, wenn der Grenzwert der Funktion an jeder Stelle existiert und gleich dem Funktionswert ist.

Answer

Eine Funktion ist stetig, wenn ihr Graph ohne Unterbrechung gezeichnet werden kann.

Question 44

Welches ist das korrekte Konzept, um das Verhalten einer Funktion in der Nähe eines Punktes zu untersuchen?

Accepted Answer

Grenzwert

Answer

Differenzierbarkeit

Answer

Stetigkeit

Answer

Ableitung

Question 45

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x^2

Question 46

Welche der folgenden Aussagen über die Funktion f(x) = |x| ist korrekt?

Accepted Answer

Die Funktion ist an der Stelle x = 0 stetig, aber nicht differenzierbar.

Answer

Die Funktion ist an der Stelle x = 0 stetig und differenzierbar.

Answer

Die Funktion ist an der Stelle x = 0 nicht stetig.

Question 47

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 2 stetig, aber nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x-2|

Answer

f(x) = 1/(x-2)

Answer

f(x) = x^2 - 4

Answer

f(x) = (x-2)/(x^2-4)

Question 48

Welche Aussage über die Grenzwerte von Funktionen ist richtig?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Funktion existiert, wenn die einseitigen Grenzwerte existieren und übereinstimmen.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion ist immer gleich dem Funktionswert.

Question 49

Welcher der folgenden Ausdrücke ist die Definition des einseitigen Grenzwerts von f(x) an der Stelle x=a von rechts?

Accepted Answer

lim_(x→a+) f(x) = L ⇔ ∀ε>0 ∃δ>0: 0

Answer

lim_(x→a) f(x) = L ⇔ ∀ε>0 ∃δ>0: 0

Answer

lim_(x→a-) f(x) = L ⇔ ∀ε>0 ∃δ>0: a-δ

Question 50

Berechnen Sie den Grenzwert von f(x) = (x-2)/(x-1) für x→1.

Accepted Answer

1

Answer

-1

Answer

0

Answer

∞

Question 51

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x=0 unstetig?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 52

Wann ist eine Funktion f(x) an einer Stelle x=a stetig?

Accepted Answer

Wenn die Funktion an der Stelle x=a definiert ist, der Grenzwert von f(x) für x→a existiert und mit dem Funktionswert f(a) übereinstimmt.

Answer

Wenn der Grenzwert von f(x) für x→a existiert.

Question 53

Welche Aussage über die Stetigkeit von zusammengesetzten Funktionen ist richtig?

Accepted Answer

Wenn g(x) an der Stelle a stetig ist und f(x) an der Stelle g(a) stetig ist, dann ist f(g(x)) an der Stelle a stetig.

Answer

Wenn g(x) an der Stelle a stetig ist, dann ist f(g(x)) an der Stelle a stetig.

Question 54

Welche der folgenden Funktionen ist auf dem Intervall [0, 2] nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x²

Question 55

Welche Aussage über den Mittelwertsatz ist richtig?

Accepted Answer

Wenn f(x) auf dem Intervall [a, b] stetig und differenzierbar ist, dann gibt es eine Stelle c im Intervall (a, b), an der f'(c) = (f(b)-f(a))/(b-a).

Answer

Wenn f(x) auf dem Intervall [a, b] stetig und integrierbar ist, dann gibt es eine Stelle c im Intervall (a, b), an der f'(c) = (f(b)-f(a))/(b-a).

Question 56

Welche der folgenden Funktionen ist auf dem Intervall (-∞, ∞) nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = |x-1|

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x + 1

Answer

f(x) = x³

Question 57

Welche der folgenden Aussagen über stetige Funktionen ist falsch?

Accepted Answer

Eine stetige Funktion ist immer differenzierbar.

Answer

Eine stetige Funktion ist auf ihrem Definitionsbereich beschränkt.

Answer

Eine stetige Funktion hat an jeder Stelle einen Grenzwert.

Answer

Eine stetige Funktion kann auf einem Intervall Konstant sein.