Integrale lernen: Definition, Berechnung und Anwendungen

Question 1

Welches Integrationsverfahren eignet sich zur Berechnung von ∫(e^x + sin(x)) dx?

Accepted Answer

Integration durch Teile

Answer

Partielle Integration

Answer

Substitution

Answer

Numerische Integration

Question 2

Was ist der Wert des bestimmten Integrals ∫[0,1] (x² + 1) dx?

Accepted Answer

2/3

Answer

1/3

Answer

1

Answer

2

Question 3

Welche der folgenden Aussagen über Integrale ist richtig?

Accepted Answer

Integrale können verwendet werden, um Flächen unter Kurven zu berechnen.

Answer

Integrale sind nur für stetige Funktionen definiert.

Answer

Die Stammfunktion einer Funktion ist eindeutig bestimmt.

Answer

Der Wert eines bestimmten Integrals ist immer positiv.

Question 4

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion von f(x) = e^x + x²?

Accepted Answer

e^x + x³/3 + C

Answer

e^x + x³/3

Answer

e^x - x³/3

Answer

e^x - x³/3 + C

Question 5

Bestimme das Integral von ∫(1 / (x² + 1)) dx.

Accepted Answer

arctan(x) + C

Answer

-arctan(x) + C

Answer

1 / (x² + 1) + C

Answer

-1 / (x² + 1) + C

Question 6

Welche der folgenden Anwendungen von Integralen ist nicht korrekt?

Accepted Answer

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten

Answer

Berechnung von Flächen unter Kurven

Answer

Berechnung von Volumen von Rotationskörpern

Answer

Berechnung von Arbeit

Question 7

Mit welcher Regel kann man Integrale von Summen von Funktionen aufteilen?

Accepted Answer

Summenregel

Answer

Produktregel

Answer

Quotientenregel

Answer

Kettenregel

Question 8

Ein uneigentliches Integral ist ein Integral, dessen:

Accepted Answer

Integrationsgrenzen unendlich sind

Answer

Integrand eine Polstelle hat

Answer

Stammfunktion nicht existiert

Answer

Wert nicht existiert

Question 9

Das Volumen eines Körpers, der durch Rotation einer Ebene um eine Achse entsteht, kann mit dem:

Accepted Answer

Scheibenzählverfahren

Answer

Zylinderhüllfläche

Answer

Kegelvolumen

Answer

Kugelvolumen

Question 10

Der Zusammenhang zwischen dem Flächeninhalt unter einer Kurve und dem Wert des zugehörigen Integrals ist:

Accepted Answer

Der Flächeninhalt ist gleich dem Integral der Funktion über das Intervall

Answer

Der Flächeninhalt ist gleich dem negativen Integral der Funktion über das Intervall

Answer

Das Integral ist gleich dem Flächeninhalt unter der Kurve über dem Intervall

Answer

Das Integral ist gleich dem negativen Flächeninhalt unter der Kurve über das Intervall

Question 11

Zur Lösung von Integralen von rationalen Funktionen eignet sich die:

Accepted Answer

Partialbruchzerlegung

Answer

Trigonometrische Substitution

Answer

Polarkoordinaten

Answer

Laplace-Transformation

Question 12

Die notwendige und hinreichende Bedingung für die Konvergenz eines uneigentlichen Integrals ist:

Accepted Answer

Das Integral hat einen endlichen Wert

Answer

Der Grenzwert des Integranden geht gegen 0

Answer

Der Integrand ist auf dem Intervall beschränkt

Answer

Der Integrand hat eine Stammfunktion

Question 13

Welche Aussagen über die Simpson-Regel sind korrekt?

Accepted Answer

Sie ist eine zweistufige numerische Integrationsmethode.

Accepted Answer

Sie liefert im Allgemeinen genauere Ergebnisse als die Trapezregel.

Accepted Answer

Sie wird auch Newton-Cotes-Formel der zweiten Ordnung genannt.

Answer

Sie kann nur für Funktionen mit einer ungeraden Anzahl von Teilintervallen verwendet werden.

Question 14

Welcher Ausdruck beschreibt das Integral des Produkts von f(x) und g(x)?

Accepted Answer

∫ f(x) * g(x) dx

Answer

∫ f(x) + g(x) dx

Answer

∫ d(f(x) * g(x))

Answer

∫ f(x) / g(x) dx

Question 15

Welche Funktion ist die Stammfunktion von e^x?

Accepted Answer

e^x + C

Answer

x * e^x

Answer

(1/x)e^x

Question 16

Welche Aussage über Integrale ist richtig?

Accepted Answer

Integrale können verwendet werden, um von Funktionen eingeschlossene Flächen zu berechnen

Answer

Integrale können nur für lineare Funktionen gelöst werden

Answer

Integrale sind immer positiv

Question 17

Welche Aussage über uneigentliche Integrale ist korrekt?

Accepted Answer

Ein uneigentliches Integral kann existieren, auch wenn der Integrand an einer endlichen Anzahl von Punkten unendlich wird

Answer

Uneigentliche Integrale sind immer konvergent

Question 18

Welche Aussage über Integrale ist falsch?

Accepted Answer

Das Integral einer Funktion ist immer positiv.

Answer

Das Integral einer Funktion unter einer Kurve entspricht der Fläche, die von der Kurve begrenzt wird.

Answer

Das Integral einer Funktion kann sowohl positiv als auch negativ sein.

Answer

Mit dem Integral einer Funktion kann man das Volumen von Körpern berechnen.

Question 19

Welches der folgenden Integrale ist ein bestimmtes Integral?

Accepted Answer

∫(x²) dx von 0 bis 1

Answer

∫(1/x) dx von 0 bis ∞

Answer

∫(cos(x)) dx von -∞ bis 0

Answer

∫(sin(x)) dx

Question 20

Welche Integrationsregel wird verwendet, um das Integral von ∫(x² + 2x) dx zu berechnen?

Accepted Answer

Potenzregel: 1/2x³ + x² + C

Answer

Kettenregel: 2x + 1 + C

Answer

Partielle Integration: x³ + 2x² + C

Answer

Produktregel: (x² + 2x)²/2 + C

Question 21

Welche der folgenden Anwendungen beschreibt die Integration in der Physik?

Accepted Answer

Berechnung der Arbeit, die eine Kraft über eine Strecke verrichtet.

Answer

Bestimmung des Volumens eines Körpers.

Answer

Berechnung der Oberflächenfläche eines Körpers.

Question 22

Welche Methode ist geeignet, um das Integral von ∫x sin(x) dx zu lösen?

Accepted Answer

Partielle Integration: -x cos(x) + sin(x) + C

Answer

Substitution: u = x, du = dx

Answer

Potenzregel: x²/2 sin(x) + C

Answer

Trigonometrische Substitution: u = sin(x)

Question 23

Welches Integral ergibt die Funktion f(x) = 1/x?

Accepted Answer

ln(|x|) + C

Answer

-1/x² + C

Answer

x + C

Answer

1/x² + C

Question 24

Welche Aussage zum bestimmten Integral ist korrekt?

Accepted Answer

Die Integrationsgrenzen legen den Integrationsbereich fest.

Answer

Das bestimmte Integral ist immer positiv.

Answer

Die Integrationsgrenzen können beliebig gewählt werden.

Question 25

Wie kann man das Integral von ∫(x² + 1)² dx lösen?

Accepted Answer

Den Term erweitern und dann jeden Term integrieren: x⁴ + 4x² + x + C

Answer

Substitutionsmethode verwenden.

Answer

Partielle Integration verwenden.

Question 26

Welche Anwendung der Integration ermöglicht die Berechnung der Länge einer Kurve?

Accepted Answer

Kurvenintegral

Answer

Volumenintegral

Answer

Flächenintegral

Answer

Oberflächenintegral